CHAPITRE XV. — ÉQUATIONS CYCLIQUES
Son discrîminant est égal à B^ ; oq détermine aisément le signe du produit des différences des racines (en comparant les termes de plus haut degré, diaprés la définition de Gauss, § 49, ou encore § 70). On trouve ainsi
(9) (y —yi) {y —yi) (yi—yt) = B-
Comme nous l'avons déjà remarqué, l'équation (8) est normale, et il est facile de représenter effectivement^! et ^2 à Taide dey. Multiplions les deux membres de (9) par yt — ^2) et servonsnous des formules
(y—yi)(y—yi) = ^y^—'^^ (ri— 72)*=r'— 4rirî = 4A — 37»;
il vient
(lo) B(7i -7,) = — oy' 4- 1-3 A^»— 4 \2 = GAjî-f. 9j^ /D - 4 -^S
yi-^yi =—y
ce qui détermine^! et j^a- Si Ton adjoint donc de plus la racine y y le groupe de l'équation du quatrième degré se réduit à
(Qi) i» (0,2) (1,3), (0,1) (2, 3), (0,3) (1,2).
Ce groupe est imprimitif (de trois manières)^ l'équation peut maintenant être résolue à l'aide de deux racines carrées. On y arrive le mieux de la manière suivante. T^es trois quantités
l t'i = (a + a, — dy—as)*, (m) I ^2 = (a — ai-+-a, — aj)*,
( ^'3 =-- (a — a, — as-i-aj)*
permettent toutes les permutations du groupe Qi, et s'expriment par conséquent rationnellement en fonction dey. Ces expressions s'obtiennent comme il suit; on a
Pjr^aJ— i(a-+-a,) (a.^-aj), yi — 7î — (a-^ai) (atî-haa) — 2(aa,-f-a,a3), ajr= (a-i-ai) ( aj-h aj) -h ax, H- «ja,;
si l'on forme de même V2 et Cj, on aura donc
(12) { 3Pî = 3aJ — 8as— 47,H-4j^,
( 31^3= 3aî — 8aj — 4r -^iyi- W. 39
6lO LIVRE III. — LES GRANDEURS ALGÉBRIQUES.
Une autre relation provient de ce que la fonction
(H- ai— a,— aj) (a--al-^a2— as) (a — aj — aj-naj)
est une fonction symétrique des racines a; on trouve aisément qu'elle a pour valeur
Les signes des trois fonctions des racines seront liés par la relation
(i3) v^/ï^/rl= «î — 4«I«^-^8a5.
et nous poserons
il en résulte
v/t'î = a — «1 -f- «j — aj,
v/i?3 = a — a^— ajH-a,, «, = a -H «1 -+- «i -h «8 ;
4a = «i-f- /t'i-h /î^-h v^t's, 4 ai = a, -h /pi — /l'î-- /t'j, 4 a, = ai— v^-+-v^^',— /p7, 4a3 = «1— /t'i-t- /t'i-h /t^.
Si Ton a donné à y/D, dans Téquation (8), le signe opposé et si Ton remplace y par — y^ il faut, en vertu de (lo), changer jki et y2 en — j'i et — y^ > par suite (^ reste invariable, V2 et t'j s'échangent entre eux.
En prenant pour y une autre racine de Féquation (8), par exemple j^i, il faudra [d'après (9)] remplacerai et^a par ^2 etj^; les quantités p^, ç'o» ^s se permutent cjcliquement; il en est de même des quantités ai, a2, ol^ des formules (i5).
Si enfin on choisit autrement les signes de ^^i^i, ^^2, \/^Zi mais de manière que la condition (i3) soit toujours remplie, les quantités (i5) subissent de même certaines permutations.
Quelles que soient tes valeurs choisies parmi les valeurs des quantités algébriques qui se présentent dans la résolution, les expressions ( i5) représentent toujours les racines de noire équation du quatrième degré, dans un ordre quelconque.
