CHAPITRE XV. — ÉQUATIONS CYCLIQUES. 6f I

Nous serons plus brefs au sujet des autres procédés de résolution de Téquation du quatrième degré.

£n n'adjoignant pas y/D, mais une fonction appartenant au groupe Pj, on obtient une résolvante du troisième degré, quin'esr pas une équation normale. On peut choisir pour cette fonction la quantité ^2 qui satisfait à Téquation

Mais il vaut mieux prendre pour racines de la résolvante les quantités

(»7) -=n— 7î» ^i = yi—y^ ^i=y—ri-

^ appartient alors au groupe P|, ainsi que cela résulte de la seconde équation (lo); il suffit d'exprimer y/D rationnellement en fonction de y d'après l'équation (8), ce qui donne

Des équations (8) et (9) on déduit pour^ l'équation du troisième degré

De plus, en posant

(19) H =0L%i-h0Li(X3.

on a

s = ai — 3 m;

on en déduit pour u la résolvante

(20) w' — ajM* -{-{aia:i — 4^4)" -+- 4<^î<*v — ^î«v — ^l = ^'

Si, au lieu d'adjoindre une seule des racines des équations (18) ou (ao), on les adjoint toutes, on retombe sur le groupe Q|. Les quantités P|, t^a, v^ s'expriment de suite, à l'aide des formules (12), en fonction deZ|, z^, z^; on peut alors emploj'er les formules (i 5) pour représenter les quantités a à l'aide de ce procédé.

On peut arriver,d'une autre manière à la résolution de l'équation du quatrième degré, en adjoignant une fonction cyclique des racines appartenant au groupe cyclique Pj; par exemple

(21) w = aaj -f- a,aî -t- aiaj -haja*.

6lO LITRE III. — LES GRANDEURS ALGÉBRIQUE

Une autre relation provient de ce que la four

(a -+- «1 — (Zf — OLi) (a — ŒiH- «1— «j) (a

est une fonction symétrique des racine qu'elle a pour valeur

Les signes des trois fonctions f relation

et nous poserons

il en résulte

V ra-

-olvanle

Lion ralion-

. dt pas simple.

x) réductible et

,ié, par radjonction

.'3. Celle fonction est

»"gré; elle est imprimi-

ond degré. Prenons, par

^^a,= lv/*>,;

ix égales et de signes contraires; il iroisième degré en Ç^. A Taîde d'une eut se mettre sous forme d'un produit nielles, ormules, supposons «4 = 0; soît donc

/{x) = 3-v -h ax^ H- 6x -4- c;

aa,H- ajflCj = J* -^ a;

Si l'on a dor Ton remplace

JK2 en —JK2 f gent entre '

En prer .^,, = | ^^ 52 ^ «, .ia.oca =— | h- J* exemple

les qua' ^jeurs du second degré de/(x) sont alors même

de I til

ix^-i-^x-h ( — y-h^^-haj = o.

lipliant membre à membre les équations (af), on trouve •iTéquation du troisième degré

4c = (e»-ha)«--j-,,