CHAPITRE XY. — ÉQUATIONS CYCLIQUES. 6l

OU bien

(26) {« -h 2a î* -t- (a2 — 4 c) Jî — 6» = o.

En prenant pour $ l'une quelconque des racines de celle équalion du sixième degré, on déduil de chacune des équations (aS) un couple de racines de /(x) = o.

§ 169. — Équations abéliennes.

Le degré d'un groupe transitif de permutations de m indices est toujours divisible par m; il n'est donc jamais inférieure m. Soit, en efTet, P un tel groupe et Qo Tensemble des permutations de P, qui laissent invariable l'indice o; Qo est aussi un groupe, et, par suite, un diviseur de P. Le groupe P étant transitif par hypothèse, on y peut trouver un groupe de permutations tîi, -îTaî • • V '^m-ij qwi transforment o en i, o en 2, . . ., o en m — i; Qit< est alors le système de toutes les permutations du groupe P, qui transforment o en i. D'après cela, on aura

(i) P = QoH-Qo7fi-^-QoîtîH-...-+- QoTî//i-i;

le degré de P est donc égal au produit de m parle degré de Q©.

Le groupe de Galois d\ine équation irréductible n'est donc jamais d'un degré inférieur à celui de l'équation.

Nous avons caractérisé précédemment une équation normale, en disant qu'elle est irréductible et que ses racines s'expriment rationnellement en fonction de l'une quelconque d'entre elles (§ 152). Il en résulte que le groupe d'une équation normale se réduit au groupe identique quand on opère l'adjonction, d'une seule racine; réciproquement, une équation dont le groupe jouit de cette propriété et qui est en même temps irréductible, est toujours une équation normale.

Par hypothèse, P se réduit à Qo par l'adjonction de la racine a© ; à Tz~* Qo'Jti par l'adjonction de ai, etc. ; pour que P soit le groupe d'une équation normale, il faut et il suffit que Qo soit le groupe unité; le groupe est alors épuisé par it, tti, tûs, . . . , T^m-f Donc :

La condition nécessaire et suffisante pour qu'une équation

6l4 IJVRB III. "— LES GRANDEURS ALGÉBRIQUES.

irréductible soit une équation normale est que le degré dit groupe soit égal au degré de V équation,

. Nous considérerons d'abord le genre particulier d'équations qui comprennent les équations de division du cercle, résolues d'abord par Gauss; le procédé général pour les résoudre a été indiqué par Abel; nous les dénommerons, d'après lui, équations abéliennes (*).

Une équation de degré m, F(j?) = o, est une équation abélienne, lorsque chacune de ses racines a, a,, . . ., a^.i s^ exprime rationnellement en fonction de Vune quelconque d'entre elles a ; si ces expressions sont de la forme

(2) ai = Oi(a), a, = Oj(a), ..., a,„, = 0„i i(a),

deux quelconques de ces fonctions doii'ent, en outre, vérifier la condition

(3) 0/,OA(a) = OAe/,(a).

L'écriture 6>kÔA(a) représente la valeur de 6a(^)î quand on remplace x par OA(a). Bien entendu, toute cette définition se rapporte à un certain corps û dont les éléments sont considérés comme rationnels.

Si le corps Û est celui des nombres rationnels, les équations qui déterminent les racines de l'unité sont certainement abéliennes. En effet, r étant une racine m*^"® primitive de l'unité, touto autre racine est de la forme 6a('*) = z"^; on a d'ailleurs

De même, si le corps Q contient les racines m'*™*' de Tunité, et si le nombre a appartient au corps Q, l'équation binôme x"^ — a = o est abélienne. En effet, toutes ses racines sont dq la forme

(') Abel, Mémoire sur une classa d'équations résolubles algébriquement. {Journal de Crelle, t. 4; 1829.) — Œuvres complètes, nouvelle édilion, t. I, p. /|i8.