CHAPITRE XV. — ÉQUATIONS CYCLIQUES. 6l
a désignant l'une quelconque de ses racines ; on aura donc Oa(j:) = f^Xj et, par suite,
Si la fonction F(a;) n'est pas irréductible, elle admet un certain facteur irréductible C5(^), ayant la racine a; les racines de îp(j:)= o sont liées par les relations (2) et (3). Donc (§ 152) ^{x) = o est une résolvante de Galois de l'équation F(j:) = o; la résolution de o(x) = o fait donc connaître toutes les racines de F(:r) = o. Par conséquent, nous pouvons nous borner au cas des équations abé Hennés irréductibles.
Une équation abélienne étant irréductible ou non, mais n'ayant que des racines distinctes, son groupe de Galois est commutatif; dans la composition de ses permutations, on peut renverser leur ordre.
Soient, en effet,
(4) a, ai = ei(a), a,= 0,(a), ..., a,„t = e;„-i(a)
les racines de F(j:) et
(5) a, a'=e'(a), a'rrzO^a),
celles de ces racines qui appartiennent au facteur irréductible (p(j:) de F(:r).
On a déjà remarqué que ç(:r) = o est une résolvante de Galois; le groupe de l'équation se compose donc des substitutions du corps Û(a), c'est-à-dire de
(6) <!=(«, a), a' = (a,a'), (T'' = (x,a'), Ce groupe est commutatif; soient en effet
cr' = (a, a') = [a,e'(a)], 7' = (a,a') = [a,0'(a) ;
d'après le § 154, on a alors
crV = [a, e'(a)][0'(a), 0'e'(a)] = [a, 0'e'(«)L a'^'=[a,6'(a)][6'(a),0'0'(a)] = [a, O'O'(a)].
Par suite de l'équation (3), on a donc (jV'=: </cr'; (t' et </ sont
6l6 LIVRE III. — LES GRANDEURS ALGÉBRIQUES.
deux quelconques des substitutions o-. Donc le groupe des substitutions du corps û(a) est commuta lif, ainsi que le groupe isomorphe des permutations de l'équation F(x)= o.
La réciproque de cette proposition est vraie, à condition de supposer Téquation irréductible.
Une équation irréductible (p(;r)=o, dont le groupe esi commutatif, est une équation abélienne.
Soient a, ai, a,, ..., a^-i les racines de îp(^)=o, et P le groupe de cette équation; ce groupe est transitif, puisque l'équation est irréductible; de plus, il est commutatif par hypothèse. Soit Q le diviseur de P, qui laisse invariable l'élément o. Si la permutation it/ transforme o en t, Tt^^Q^' ^^^ ^^ groupe des permutations de P, qui laisse invariable l'indice i. Comme, d'autre part, on peut échanger les permutations de P dans la composition, on aura
donc le groupe Q laisse aussi invariable l'indice i. Le groupe P étant transitif, l'indice i peut être l'un quelconque des indices 1 , 2, . . . , m — i; par suite, Q ne comprend que la seule permutation identique; dans P il n'existe, en dehors de cette dernière, aucune permutation laissant un indice invariable. Si l'on opère l'adjonction d'une seule racine a, le groupe P se réduit au groupe unité, et l'équation est résolue ; çp(;r) = o est une équation normale, et par suite sa propre résolvante de Galois.
Si Ton a aA= ^^(a), le groupe de Galois de cette équation se compose des substitutions
et l'on a
Puisque le groupe doit être commutatif, on aura
donc (p(:r)= o est une équation abélienne. C'est pour cette raison que les groupes commutatifs s'appellent aussi groupes abéliens (§ 155). Du théorème énoncé précédemment sur le groupe d'une équation normale, il résulte aussi que, si un groupe abélien est
