CHAPITRE XV. — ÉQUATIONS CYCLIQUES
transitif; le nomijre des permutations est égal au nombre des indices permutés.
Nous avons supposé que l'équation considérée est irréductible. Si l'on veut considérer des équations réductibles à groupe commutatif, prenons par exemple un diviseur irréductible (p(j:) de F(:r). On obtient le groupe P' de l'équation cp(ar)= o, en permutant les racines de o{x) à l'aide des permutations de P. Si donc P est commutatif, il en est de même de P'. Donc :
SI une équation réductible F(a:)=o possède un groupe commutatif, chaque diviseur irréductible de F fournit une équation abélienne 0 = 0.
Il n'est d'ailleurs pas nécessaire que les racines d'un diviseur ç s'expriment rationnellement à l'aide des racines d'un autre diviseur; on ne peut donc pas dire que F(j:) = o soit toujours une équation abélienne.
Remarquons enfin que tout diviseur d'un groupe commutatif est normal; on a, en effet,
ik
■1 xt: = X,
7T et X étant deux éléments quelconques du groupe.
§ 170. — Réduction d'une équation abélienne à une équation cyclique.
Nous avons déjà vu précédemment que, en dehors de la permutation identique, un groupe abélien transilif ne peut comprendre aucune permutation, laissant invariable un indice donné. On en tire la conclusion suivante.
Supposons qu'une permutation tc, appartenant à ce groupe, soit décomposée en cjcles, le cycle du moindre nombre de termes en ayant r. La permutation tz'' laissera invariables les termes de ce cycle; ce sera donc la permutation identique. Il en résulte que, si la permutation tc comprend d'autres cycles, ils devront aussi être formés de /' termes; donc :
1. Une permutation, appartenant à un groupe abélien transitif, ne comprend que des cycles du même nombre de termes.
6l8 LIVRE III. — LES GRANDEURS ALGÉBRIQUES.
771 étant le degré du groupe, le nombre r des termes du cycle est nécessairement un diviseur de m; si l'on a m = rs, 5 est le nombre des cycles de r termes, formant la permutation tt.
Soit maintenant P le groupe d'une équation abélienne F(j;)= 0, et K une permutation non identique de ce groupe ; décomposonsla en cycles
chacun des cycles y se rapportant à r racines de Téquation. Rangeons les racines dans un ordre tel, que Ton ait
Ï1=(P, Pi, Pî, ■...?^l),
Yj-1 = ( «Ïj ^^l > ^ii • • • î <ïr-l )•
Soit iTi une permutation quelconque du groupe P; ce groupe étant commutatir, on a
(3) HY^TITri = 7C.
D'après le théorème sur la formation de la permutation ttj^'th:! [§ 160, ,(4)]j iî ne doit pas changer lorsqu'on effectue la permutation TTi sur les cycles de ti. D'autre part, ces cycles sont entièrement déterminés, abstraction faite de leur ordre et de leur premier élément; donc la permutation tt, du groupe P ne permute pas séparément les éléments des cycles y; elle les permute cjcliquement entre eux; en outre, les cycles peuvent s'échanger entre eux. Si donc s est plus grand que i , le groupe est imprimiiif.
On appelle /o/îc/«o/i cyclique des arguments a, ai, . . ., a^.., une fonction de ces quantités qui ne change pas de valeur quand on soumet les quantités a à la permutation cyclique y, répétée plusieurs fois si l'on veut. Soit
une telle fonction; désignons par
(5) 0), wj, ..., 0)^-1
le système des valeurs conjuguées de w, de telle sorte qu'on ail
