CHAPITRE XV. — ÉQUATIONS CYCLIQUES
par exemple
(6) u), = 4.(p, p„ ...;pr-t);
ces quantités sonl racines d^une équation irréductible de degré s (§ 163) :
on obtient le groupe de cette équation en cberchanl les permutations des quantités (5) produites par P.
La permutation produite par l'opération tti ttj parmi les quantités (5) s'obtient en composant les permutations produites par TTi etTTa isolément; le groupe des permutations des grandeurs (5) est donc commulatif. Par conséquent, <(>(/)= o est une équation abélienne de degré s.
Si Ton opère l'adjonction de co, F(:r) se décompose en s facteurs
de degré r
le premier de ces facteurs, F(:r, co), admet pour racines a, a,, — «r^r, le groupe de l'équaiion F(:r, m)=o se réduit donc à la période de la permutation cyclique y«
Une équation, dont le groupe se compose d'un seul cycle et de ses répétitions, sera dite une équaiion cyclique; ces équations constituent le cas particulier le plus simple des équations abéliennes. Le raisonnement précédent prouve donc que la résolution de toute équation abélienne se ramène à celle d'une équation abélienne de degré moindre et d'une suite d'équations cycliques. En appliquant ce théorème à l'équation auxiliaire de degré 5, on pourra répéter le môme raisonnement jusqu'à ce que l'équation auxiliaire soit ramenée au premier degré. Nous pouvons donc énoncer ce théorème :
La résolution d^une équaiion abélienne peut toujours être ramenée à la résolution d^une suite d^ équations cycliques^ dont les degrés sont des diviseurs du degré de Véquation donnée,
La définition d'une équation cyclique ne comporte pas nécessairement l'irréductibilité; on peut donc formuler celte définition de la manière suivante :
On appelle équation cyclique {en û) une équation F(x)= o de degré m, dont toutes les racines sont distinctes^ mais non rationnelles en Q, et peuvent se grouper de telle manière, que les fonctions cycliques de ces racines soient rationnelles en U.
Si donc on a
(7) "ïï = (2t, «i, . . ., «m-i),
le corps û contient toute fonction qui admet les permutations du roupe cyclique
(8X (G) I, 7:, TT*, ..., ir
Le groupe de Galois d'une équation cyclique est ou bien la période G elle-même, et Téquation est alors irréductible; ou bien ce groupe est un diviseur de G; e e\ f étant deux facteurs de m, tels que m = e/, ce groupe se compose alors des permutations
Téquation cyclique se décompose en e facteurs de degré/.
Prenons en effet une fonction A (a, a^, ..., a;,i.,), appartenant au groupe G; par hypothèse, elle est égale à une certaine grandeur a de û. On ne peut appliquer à Téquation rationnelle 4 = <i aucune permutation non contenue dans G; donc le groupe de Téqualion ne peut contenir d'autres substitutions que celles qui figurent dans G. Si donc 7t figure dans le groupe de Téquation, ce groupe est identique à G; comme C est transitif, Téquation sera irréductible. Si au contraire tz^ est la puissance de moindre exposant de Tt, figurant dans le groupe de Téquation, ce groupe est Gtf. Mais lorsque e est plus grand que i, G<. est intransitif, et l'équation est réductible.
De même que les équations abéliennes, les équations cycliques possèdent cette propriété que leurs racines sont des fonctions rationnelles d'une quelconque d'entre elles. Ges fonctions peuvent se ranger cycliquement de la manière suivante.
Soient a, ai, ...,a,n< les racines de l'équation cyclique F(x)=o; la fonction entière de degré m
\x — a X — ai X — a,n—i/
