CHAPITRE XV. — ÉQUATIONS CYCLIQUES. 62 I

reste invariable, quand on y fait la permutation tz ; elle est, par suite, contenue dans Q. Remplaçons-y la variable x successivement par a, ai , . . . , a;,,.! ; servons-nous de la notation

F\x) on trouve

(10) ai=6(a), a, = e(a,), ..., a,«-i = 6(a,„,) a = 6(a;;,,);

il en est ainsi que F(x) soit ou ne soit pas réductible, pourvu que F(^) etF'(^) n'aient pas de diviseur commun.

Lorsque le degré de l'équation cyclique n'est pas un, nombre premier, on peut la réduire par le procédé déjà employé pour les équations abéliennes.

Soit en effet m = ef une décomposition de m en un produit de deux facteurs; la permutation ir*^ se décompose en e cycles à y termes :

. Tc-i =(.*tf-i> 3tjtf i, «3^-1, . . ., a,rt i;.

Déterminons une fonction i( appartenant au premier de ces cycles et posons

/ V I T'il = 'K*!? sr^+l, «îc-f-l» • • •> *(/-l)e+l)»

Ces quantités sont toutes distinctes^ mais une permutation cyclique de leurs arguments les laisse invariables. L'emploi de la permutation tt transforme les quantités r|, th, . . ., y]^, cycliqucment les unes dans les autres ; donc, d'après l'hypothèse, leurs fonctions cycliques, par suite aussi leurs fonctions symétriques, sont rationnelles. Elles sont, par conséquent, racines d'une équation cyclique de degré e\ F(^) se décompose en e facteurs de

degré /,

F(ar)=F(x,7î)F(a7,7)i)...F(a7,T),t),

dont chacun fournit une équation cyclique de degré f pour les racines de l'un des cycles v.

En effet, posons par exemple

celle fonclion permel les permulalîons de la période de y ; elle permet donc aussi les permutations du groupe qui devient, par Tadjonclion de t^, le groupe de Galois de notre équation, et ne peut être formé que de puissances de y, Y«^ • • •> Yr-i- Par suite, d'après le théorème deLagrange [§ 162, (2)], F| s'exprime rationnellement en fonclion de 'i\\ F| est par exemple égal à F(x, r,). L'équation F(;r, 7\) est encore cyclique dans le corps û(îl), puisque les fonctions cycliques de ses racines appartiennent à ce corps.

La résolution d'une équation cyclique de degré m est ainsi ramenée à celle d'autres équations cycliques, ayant pour degrés les facteurs premiers de m. Si, par exemple, m est une puissance de 2, la résolulion se ramène à une suite d'extractions de racines carrées. C'est de cette manière que Gauss a traité d'abord les équations de division du cercle (* ).

Faisons enfin cette remarque, si importante pour la suite, que, dans le cas d'un degré premier, les notions adéquation normale et di^ équation cyclique sont identiques. Une équation cyclique de degré premier, étant irréduclible, est certainement une équation normale. Réciproquement, supposons que le nombre premier n soit le degré d'une équation normale ; c'eit aussi le degré du groupe de cette équation ; t. étant une permutation non identique de ce groupe, le degré de it doit être un diviseur de n ; il est donc égal à /i ; le groupe de Téquation est donc

il est donc cyclique.

§ 171. — Résolvantes de Lag^ange.

Nous allons exposer une méthode de résolution des équations cycliques, applicable à la fois aux équations de degré premier et non premier. On se sert, à cet effet, de certaines expressions,

( * ) Gauss, Disquisitiones arithmeticce, seclio VII.