CHAPITRE XV. — ÉQUATIONS CYCLIQUES

connues sous le nom de résolvantes de Lagrange (*); elles sont d'une grande utilité dans toutes les recherches sur la résolution algébrique des équations.

SoitF(a:):= o une équation dont les racines sont a, a,, ..., ct,,n^x\ soit e une racine m**"* quelconque de l'unité ; nous poserons

(i) (8, «)= a -4- eai-h e*a,-H. . .-{- &^-^af„^i.

Les sommes ainsi définies sont les résolvantes de Lagrange. Lorsqu'on connaît les fonctions correspondant à toutes les racines 7/1^^"** de l'unité, l'équation elle-même est résolue. En effet [§141,(6)], on a

(2) %e^" = m ou =0,

suivant que k est ou n'est pas divisible par m ; il en résulte

la sommation étant étendue à toutes les racines m'^™" de l'unité. On exprime d'une façon analogue les autres racines parla formule

(4) maA-=^€-**(8, a);

toute la résolution est donc ramenée finalement à la déterminalion de e et des fonctions (s, a).

Les racines m'*'"'®* de l'unité étant des puissances d'une racine primitive, ces fonctions peuvent encore se mettre sous une forme un peu différente. Soient e une racine m'*^"* primitive déterminée, X un quelconque des nombres formant un système complet de restes par rapport au module m, par exemple un des nombres o, i , 2, . . . , m — i ; les équations (2) et (3) pourront s'écrire

ma =2(£>-, a), moLj, = ^e->'^(£\ a).

Considérons ces résolvantes d'abord comme fonctions des m

(') Lagranqe, Béjlexions sur la résolution algébrique des équations. {Mémoires de V Académie de Berlin, 1770, 1771.) Précédemment les résolvantes étaient des équations; ce sont maintenant des fonctions.

variables indëpendanles a ; convenons, en vue de la simplîcilé des formules, que oLm est égal à a© ou a, et qu'en général a^ est égal à a^, lorsqu'on a A ^ A"(mod/n). On obtient alors le système de toutes les variables a, en prenant pour h dans ols les difTérents nombres qui forment un système complet de restes par rapport au module m.

Nous démontrerons sur ces résolvantes les propositions suivantes :

\ . Lorsqu!on effectue sur les indices des variables a la permutation cyclique 11 = (o, i, ..., m — 1), la fonction (s, a) devient e~*(£, a); la permutation tJ^ transforme (s, a) en

Cela résuite immédiatement de l'équation (i), qui défînit la résolvante.

Soit maintenant'/ un exposant positif quelconque ; développons la puissance v du polynôme (e, a). Dans ce développement, remplaçons e'" par i autant que possible, et ordonnons par rapport aux puissances de c. Nous trouverons une expression de la forme

les coefficients A)",, A,, . . . , A^^ sont des formes de degré v à coefficients entiers des variables a, mais indépendants de s. En supposant Aa = Aa, dès que A ^ A*(modm), on peut énoncer le théorème suivant :

2. Lorsqu on effectue sur les indices des racines a la permutation cyclique 7t, les indices des coefficients du développement de (s, a)^ subissent la permutation cyclique iz^ ] en d'autres termes K\ devient A^^,^.

Pour le démontrer, remarquons que la formule (5) reste vraie, quelle que soit la racine m'*"*" de l'unité, même si elle est égale à I ; il résulte alors de (2)

(6) mAX=2»-*(«.«)^-