CHAPITRE I. — FONCTIONS RATIONNELLES

mullîplianl les deux nombres par V, il vient

Il en résulte bien, que si UV est divisible par v, il en sera de même de V.

Nous supposerons donc le théorème démontré pour le cas où le nombre des variables est n ou un nombre moindre, et nous démontrerons qu'il est encore vrai pour /i + i variables.

A cet efl'et, nous allons tirer du théorème I, supposé exact, quelques conséquences; l'exactitude du théorème, pour le cas de n -f- I variables, en résultera finalement.

Soit i> une fonction irréductible ; toute autre fonction des mêmes variables ne peut être que première avec i^*, ou divisible par f. Il résulte, par suite, du théorème I qu'un produit de deux fonctions U et V ne peut être divisible par r, que si Tun des facteurs est divisible par c. Il en est de même pour un produit de plusieurs facteurs ; d'où:

II. Un produit de plusieurs fonctions entières ne peut être divisible par une fonction irréductible r que si l'un des facteurs est divisible par v.

Supposons qu'une fonction rationnelle et entière U puisse être décomposée de deux manières en fonctions irréductibles

U — vv'v". . . = ww'w\..:

d'après le théorème II, l'un des facteurs r, v\ v" ^ . . . sera nécessairement divisible par çv; soit v ce facteur. Comme il est luimême irréductible, il ne peut différer de w que par un facteur conslant.

c étant ce facteur constant, on aura donc

cyV. .. — w' w" . . . ;

il en résulte qu'un des facteurs du premier membre, v par exemple, est divisible par ii/, et par suite n'en diffère que par un facteur constant.

Nous avons donc, comme deuxième conséquence de I :