CHAPITRE XV. — ÉQUATIONS CYCLIQUES. ÔîS

Effectuons dans le second membre la permutation tz sur les indices des racines a; il vient, diaprés 1,

donc AJ devient A]^^^ j c'est la proposition 2.

Celte proposition est un cas particulier d'un théorème plus général. Soient y, Vi, V2, ... des entiers positifs ; X|, X29 . . . des entiers quelconques ; développons le produit

ordonnons-le, comme précédemment, par rapport aux puissances

de e; supposons qu'on trouve

(7) (s,ay'(£"^',a)^'(e^a^...= ^ ^''^^'^

Cm — I

les coefficients Ba sont des formes des variables a et ne contiennent plus e. Ce développement étant exact pour toutes les racines e, on peut employer la formule (2) et l'on trouve

mBjt = y]6-*(e,a)^(e>i, a)v.(£X,^ a^».. .

on en conclut, d'après l'équation (1), que la permutation t transforme Ba en Ba^v+)»v,+x,v.-.-...- Donc :

3. Lorsqu'on effectue sur les indices des racines a la permutation Tt, les coefficients du produit

(8) (£,«)v(eX,,a)v.(6>,,a)V....,

supposé ordonné par rapport à s, sont transformés par la permutation

Dans tous ces théorèmes, on peut répéter la permutation ir; ils restent donc exacts quand on remplace tz par une de ses puissances; de plus, on peut prendre pour e une racine m*^"* quelconque de l'unité. Mais, lorsque e est une racine m'*^*"* non primitive, certaines simplifications se présentent, qu'il nous faut encore signaler.

Soit e un diviseur de m, tel que m = ef\ soit e une racine e**"* de l'unité; l'expression (i) devient alors

(s, a)= a -^ eaj -^ . . . -h £*^* a^-i

-f- a<f -^ ea^H-, -^ . . . -h e«-> aj^-i

Posons maintenant

7) = a -i- a^ -h aj^ -f-. . .-h a(/,)^, 7)1 = «1 -h a^^-i -f- aj^Hj-h. . .-h a(/i,c+i,

nous appellerons ces quantités les périodes à j termes des quantités a, ainsi que l'a fait Gauss dans le cas particulier des équations de division du cercle. Il vient alors

(lo) (£,«) = r^ +eTj,-hÊ»7j,-f-...-h£«->Tje-i,

quantité que nous désignerons aussi par (s, tj).

La permutation 7t, effectuée sur les indices des quantités a, produit, parmi les indices des quantités 7^, la permutation cyclique

(il) Y =(o, I, 2, . .., e — \).

Par l'emploi de la formule (lo), on peut maintenant écrire les formules (5) et (7) de la manière suivante ;

(e, 7î)v= EX -t- eEK -h -JE\-^. . .+ g^r-iEJ^,,

(e, 7))V(6>M,T,)V.(e>^a,7))V.... = Gq "f- sGi -h £» G, -h . - . -h £^-*Ge-i.

Dans ces formules, on pose

Gat = Ba- -4- B^A--^ . . . -h B^f^x^^k ;

E][ et G* sont des fonctions entières et homogènes des quantités a ; on peut aussi les exprimer en fonction des quantités t).

Les grandeurs r^^t, E)[, Ga ne changent pas, quand on efieclue sur leurs indices la permutation it^, c'est-à-dire lorsque chaque