CHAPITRE XV. — ÉQUATIONS CYCLIQUES

indice augmente d'un multiple de e; on peut donc compléter de la manière suivante les théorèmes 2 et 3 :

4. Soit e une racine e**"* quelconque de V unité, e un diviseur de m; si l'on effectue la permutation i^ sur les indices des quantités a, les indices k des coefficients EJ de (e, r^y sont transformés par la permutation y^; les indices des coefficients G du produit (e, tj)^ (e^i, 7j)^t (e^«, t^)^», . , , le sont par la permutation yv+x,v,+x,v,+ ...

§ 172. — Résolution des équations cycliques.

L'emploi des théorèmes que nous venons de démontrer sur les résolvantes de Lagrange va nous conduire à la résolution des équations cycliques; d'une façon plus précise, on va les ramener à des équations binômes.

Les quantités a ne seront plus des variables arbitraires, ce seront les racines d'une équation cyclique; on pourra donc supposer connues les fonctions cycliques de ces quantités. D'après le théorème 2 du §171, les coefficients de (s, a)'" sont des fonctions cycliques des racines a.

Soient ^0, ai, . . ., am-.\ des éléments du corps û; posons

on conclut de ce théorème que

Si, dans cette équation, e est une racine /n'*"* primitive, la forme (e^, a) contient toutes les résolvantes.

Remarquons encore que (i,a)=a est une quantité connue, puisque c'est la somme des racines; on a donc [§ 171, (3)]

(3) ma== a-H7'WH-V'W4-...4-V4'm--i;

a est donc exprimé en fonction de radicaux d'indice m, qui ne contiennent que des racines m**"*' de l'unité et les éléments du corps Q.

Chacun de ces radicaux, considéré en lui-même, a m valeurs

6a8 LITRE III. — LES GRANDEURS ALGÉRRIQUBS.

distinctes, qui ne diffèrent les unes des autres que par des racines m*^"** de Tunité, entrant en facteurs dans leurs expressions. Si l'on attribue à chaque radical ses m valeurs différentes, la formule (3) fournit pour a un grand nombre de valeurs, parmi lesquelles se trouvent les racines a, ai, ♦ . . , a^^i [§171,(4)]. Le nombre des quantités ainsi trouvées est bien supérieur à celui des racines; le problème se pose donc de reconnaître les valeurs à conserver. Voici le procédé le plus simple à employer.

Appliquons le théorème 3 (§ 171) à un produit de deux facteurs seulement; il en résulte que (e, a)^(e^, a)t* est une fonction en û(e), lorsqu'on a v -}- X[x ^ o (mod m).

Si donc on fait [ji = i , v = m — A, et si l'on désigne par

une grandeur en û(e), il en résulte

(e,a)'«-^(£\a) = X^; par suite, d'après (a),

e étant une racine m'*"** déterminée, tous les radicaux, figurant dans la formule (3), sont exprimés rationnellement en fonction

de l'un d'eux 'j/^- En donnant à ce radical les m valeurs différentes dont il est susceptible, la formule (3) donne précisément les m racines a.

Ce procédé n'est plus applicable dans le cas d'exception où ^i est nul. Il suffit alors de modifier légèrement la méthode suivie pour éviter ce cas particulier.

Soit/? un nombre premier, diviseur de m, tel que m=pn: soit £ une racine m*^™* primitive déterminée. Il existe alors certainement un nombre X non divisible par p, tel que (e^, a) soit différent de zéro'. Si, en effet, on forme la différence a^ — a», il vient [§171, (4)]

m(a„— ao)= ^ (^"''^~*^(^^' *)'