CHAPITRE XY. — ÉQUATIONS GTGLIQUBS

e""^ — I est toujours nul, lorsque X est divisible par /?; si donc (e^, a) était toujours nul dans le cas contraire, on aurait 0Ln= «o ce qui est impossible, puisque, par hypothèse, toutes les racines a sont distinctes. Il existe donc au moins une valeur de \ non divisible par /?, telle que (e^, a) ne soit point nul.

Cela posé, décomposons m en ses facteurs premiers; soit

m =pipf . . .,

P4^P2i • • • étant des puissances de facteurs premiers différents.

Posons encore

m = pi Tti\ = p^ in% = . . . j

d'après ce qui précède, on peut toujours trouver un nombre X| premier avec pt^ un nombre X2 premier avec p^, etc., tels que les quantités (e^t, a), (e^, a), etc. soient différentes de zéro. Dans ces conditions, le théorème 3 du § 171 montre que la quantité

(5) (£>, a) (tK a)'«.v (e>s, a)'«»v . . . = Xx est une grandeur contenue dans û(e), pourvu que

(6) X= — v(Xi/?îi-+- Xjmj-h .. .) »(mod m).

Mais (e^i, a)*"! est une racine d'indice />i d'une fonction en û(£); nous poserons donc

(7) (6\a)'«.=V^, (e\aT. = ''^^, ..., (ê^ a) = 'v^. Il vient alors, d'après (5),

La somme Xi mi -H X2 m2 4- • • ' est un nombre premier avec m, car m^, ma, . . . sont divisibles par p^, tandis que X| 7714 est premier avec Pi ; la formule (6) fournit donc, pour chaque valeur de X, un nombre v parfaitement déterminé, quand on connaît le module m.

En portant les valeurs (8) dans l'équation (3) et en donnant

aux radicaux ^/©^, y^, ..., toutes les valeurs distinctes dont ils sont susceptibles, on obtient pour a exactement m valeurs distinctes et pas davantage.

63o LIVRE III. — LES GRANDEURS ALGÉBRIQUES.

Nous pouvons utiliser ces derniers résultats, pour obtenir des expressions des racines a sous une forme un peu plus générale, indiquée par Abel à l'endroit cité; elles se rapportent au cas où le corps û est réel, c'est-à-dire ne se compose que de nombres réels. Les fonctions «p, tp, ^, utilisées précédemment, sont alors formées à l'aide de nombres réels et de la racine e obtenue en divisant le cercle en m parties égales ; on pourra poser par exemple