IU . . 27C

e = e "» = cos H i sin —

Lorsqu'on change e en e~*, la fonction «pi se transforme en sa conjuguée, que nous appellerons <f\ .

Soient 04 une quantité positive, et 64 un angle tel que

(9) ?i = pi«'^«, ?i = pie-'^'»

ou bien

( ^i = pi(cos6i — (smOi), d'où

(11) PÎ = ?i?i- D'autre part, la quantité

(12) (e>>i, a)(e-^i, a) =±:ai

est une grandeur du corps û(e) (§171, théor. 3); lorsqu'on change e en e~~*, elle ne change pas; elle est donc identique à sa conjuguée, et par suite réelle. Nous choisirons le signe de telle sorte que a^ soit positif. Gomme pj est positif, il résulte de (11)

que

p; = (ihai)'«=:aï*;

si m est impair, il faudra toujours prendre le signe supérieur; si m est pair, on pourra aussi prendre le signe inférieur. On a donc

(i3) Pi=/<,

le radical devant être positif.

CHAPITaB XV. — ÉQUATIONS CYGLIQUEF. 63 1

D'autre part, les quantités sont des grandeurs réelles en û(e); de (lo), il résulte alors

cosOt

!"' > sine.- ;* ,

d'où la relation

Il vient alors

et de même pour les fonctions «pj, etc. On détermine 62, etc., par un système d'équations analogues aux équations (i 5); si l'on pose, en outre,

(16) m|6i-4-/Wj9j-h. . . = 6,

on trouve, d'après (8),

Les formules (i5) donnent

Aï'

Décomposons le produit (6| + ^'c^)'"l( 63-1- 1C2 )'"'•• • en sa partie réelle et sa partie imaginaire; on aura

(18) {bi -h tCi)'«i(6t-4- fc,)'"- . . . = B -h tC; en posant

il vient, d'après (16),

^ B -h tC

/A'« donc

(20) v^^cos6 = B, /Â^sin6 = C,

633 UV1£ III. — LES GlAXDSnS ALGÊBUQLES.

et finalement

(21) Viiâ=(/Â)"^{cos tsin — ) Y..

Les formules (20) déterminent l'angle 0 à un multiple près de 2tc; en remplaçant B par 0 + 2 Air, et donnant à h les valeurs de zéro à m — i, la formule (21) fournit les m valeurs distinctes du

A Au

premier membre. Les fonctions cos — > sin — peuvent s'exprimer

rationnellement en fonction de cos — et sin — • La résolution des

équations cycliques dans le corps réel û est donc ramenée aux opérations suivantes :

On commence par adjoindre au corps Q la racine m^*"* de r unité {obtenue par la division du cercle en m parties égales). On connaît ainsi A, B, C. On adjoint en outre la racine

carrée positive y/A; les valeurs de cos 6 et sin 9 sont alors fournies par V équation (20). Enfin, on adjoint cos— et

sin — {division de V angle 8 en m parties égales), U équation cyclique est alors résolue par la formule (21).

Ces considérations nous fournissent encore un résultat intéressant, au point de vue de la réalité des racines des équations cycliques.

Exprimons, comme au § 170, chacune des racines a, ai, . . ., ^m-\ rationnellement en fonction de la précédente :

ot, = e(a), a,= 6(a,), ..., «,;,, = 6{a,„2), a = e(a.„,);

le corps û étant supposé réel, ^{x) est une fonction réelle de x\ si donc une seule des racines est réelle, toutes les autres le sont aussi. Il en est toujours ainsi lorsque m est impair, une équation de degré impair admettant au moins une racine réelle.

Dans le cas de m pair, l'équation peut avoir des racines imaginaires; lorsqu'elle a une seule racine imaginaire, toutes les autres le sont aussi, puisque la réalité d'une seule racine entraîne la réalité de toutes les autres. Soit ^"*{x) la fonction obtenue, en répé-