CHAPITRE XV. — ÉQUATIONS CYCLIQUES

tant V fois T opération 0, on aura

Si donc a = ao et ajt sont imaginaires conjuguées, les fonctions 6^(ao) et 8^(ajt) le sont aussi, quel que soit v; en d'autres termes, Oy et cLy^ sont imaginaires conjugués.

Il en résulte qu'on doit avoir 2k = m; donc, dans le cas des racines imaginaires, a^ et a ^ forment un couple de racines ima-

ginaires conjuguées pour toute valeur de k.

Les équations du troisième degré se transforment en équations cycliques par l'adjonction de la racine carrée du discriminant. Si donc le discriminant est positif, on conclut de la proposition précédente que toutes les racines sont réelles.

§ 173. — Division d'un angle en parties égales.

Au groupe des équations cycliques appartiennent aussi les équations dont dépend la division d'un angle en m parties égales; nous y avons ramené les équations cycliques générales dans le cas d'un corps réel.

Le problème s'énonce de la manière suivante :

Étant donnés cosm^ et sinm^ , déterminer cosç et sino.

Nous supposerons que les valeurs données de cosm^ et sin/n'^ sont inférieures à l'unité, et que la somme de leurs carrés est égale à I .

Faisons l'adjonction de racines m'*"®* de l'unité, dont nous nous occuperons plus en détail au Chapitre suivant; en tout cas, elles seront supposées dépendre d'équations^ dont le degré est inférieur à m. Afin d'avoir toujours un corps réel, nous n'adjoindrons pas ces racines elles-mêmes, mais bien les quantités

(1) sin — f cos — •

Le corps û se compose donc de tous les nombres rationnels.

ainsi que des fonctions rationnelles de

cosmo, sinmcp, cos — » sin — • ' * /n m

L'équation de degré m, qui fournit j? = 2C0scp, a été établie au § 144; elle est de la forme

(2) 2Cos/w(p = A»,(a7),

Am(j:) étant une fonction entière de degré m en ^; nous avons établi, dans le même paragraphe, Téquation

. sin m©

par laquelle sinç est exprimé rationnellement en fonction de jr. Ces équations ne contiennent pas encore les racines de l'unité. Les m racines de Féquation (2) sont

Xq= HCOSf, Xi=2C08

/ 2(/yi — i)it\

iF;,t,= 2C0s(<pH ^ I;

en se servant dés formules (2) et (3), et en adjoignant les quantités (1), chacune d'elles peut s'exprimer en fonction de l'une des autres par des expressions de la forme

Une fonction quelconque des racines Xq, Xt^ ..., Xm-i peut donc étrô mise sous forme d'une fonction rationnelle F(j:o); une permutation cyclique transforme F(^o) en F(^|), F(^|) en F(^a)j • • -j F{^m-i) en F(a:o). Dans le cas d'une fonction cyclique, on a donc

F(xo) = F(a7,) =...= F(x,„i; = -i- [F(:ro) H- F(ari) -+-...+ F(x«,,)];

F(j7o) est donc rationnel, puisqu'on peut l'exprimer en fonction symétrique des racines :

La division d'un angle en parties égales dépend donc d'une équation cyclique.