DIVISION DU CERCLE EN PARTIES ÉGALES

§ 174. — Irréduotibilité de l'équation de division.

Parmi les équations abéliennes, les plus importantes sont celles qui déterminent les racines /n**™** de Tunité; nous avons déjà établi leurs propriétés élémentaires au Chapitre XII. Toutesces équations sont aussi désignées sous le nom adéquations de division du cercle, parce qu'elles sont la forme analytique du problème géométrique consistant à diviser le cercle en parties égales.

Le corps û, ayant pour éléments les quantités supposées connues, ne se compose dans le cas actuel que des nombres rationne/s; nous rappellerons R.

n étant un entier quelconque, premier ou non, nous avons vu (§ 140, 141 ) qu'il y a ©(/i) = V racines n'^"** primitives de l'unité, vérifiant une équation à coefficients entiers

(i) X„ = ar^-f-aiar^'-ï-h. . .-hav= o.

En premier lieu, il faut se demander si cette équation est irré^ ductible.

L'irréductibilité de X/i a été d'abord démontrée par Gauss, dans le cas de n premier (Disgu. arilhm., art. 341). D'autres démonstrations ont été données ultérieurement par Kronecker, Schonemann, Eisenstein, Arndt, Dedekind; elles se rapportent soit à ce même cas particulier simple, soit à celui où n est une puissance d'un nombre premier (qu'il faut traiter comme le précédent), soit