CHAPITRE XYI. — DIVISION DU CERCLE EN PARTIES ÉGALES

au cas général d^un entier n quelconque. Nous allons démontrer ici l'irréductibilité de X^ par une méthode particulièrement simple due à M. Dedekind; elle se rapporte au cas général.

Nous avons déjà vu (§ 12) que les coefficients du développement de ]a puissance d'un polynôme sont tous divisibles par />, lorsque p est premier, à l'exception de ceux qui correspondent aux puissances d'exposant/7, et donnent le reste i par rapport au module p. En désignant par u^ v^ w, ... des variables, on peut exprimer ce théorème parla congruence suivante, qui ne se rapporte qu'aux coefficients et aux produits des variables :

(a) (w -f- p-h w -4-. . .)'*= M/»-+- «?^-l- ivP-4-. . . {modp).

On en conclut le lemme suivant, qui servira de base à notre démonstration.

Soit

(3) /(^) = a7'«-haia?''*-*-Ha2jr'»«-*-|-. . .-h a,«

une fonction rationnelle, entière, quelconque de la variable Xy à coefficients entiers ai, a2, • • • , âm» soient a, ^, y, . . . les racines de/{x) = o, de sorte que (§ 7) l'on peut écrire

(4) —a, = 2 a, a,= 2a3, — ûf,= 2a3Y,

p désignant un nombre premier arbitraire, posons

les coefficients A|, A^, . . ., A;,» sont des fonctions symétriques à coefficients entiers des racines a, p, y, ... ; ils peuvent donc (§ 48) se mettre sous la forme de fonctions entières, rationnelles, à coefficients entiers, des coefficients a^, a2i •••, cim; ils sont donc eux-mêmes des nombres entiers. D'ailleurs

-A,= 2«^ A,= 2«''P^ —k^=^aP^PyP,

la formule (2) montre alors que

A, = aÇ, Aj^aJ, A„=aJ, (modp);

638 LIVRE m. — LES GRANDEURS ALGÉBRIQUES.

d'après le théorème de Fermât, on ea conclut enfin que

(6) A,sa,, A,^aj, ..., A;n^«m (mod/)); ce qu'on peut exprimer par la congruence

(7) /(^)^F(^) (mod/?),

cette congruence ne se rapportant qu'aux coefficients des mêmes puissances de x.

La formation de la fonction F (a:) d'après f{x) est un cas particulier de la transformation de Tschirnhausen ; on obtient en effet l'équation F(j^) = o, en éliminant x entre les équations yz=xP eij{x) = o.

La détermination de F(^) peut aussi se faire à l'aide de la formule

le produit étant étendu à toutes les racines jd^«"«» de l'unité, représentées par e. Ajoutons encore que, si /(x) est irréductible dans le corps R, et si les quantités a^*, p/', . . . sont toutes distinctes, F(x) est aussi irréductible. Soit en effet F| (x) un facteur irréductible de F(j:), s'annulant poura;=a''; les deux équations /{x) = o et F| (xP) = o auront la racine commune a ; /{x) étant supposé irréductible, Fi(x) est divisible pary(;r); donc on a

Fi(x) admet donc toutes les racines de F{x); d'où l'irréductibilité de F{x).

L'irréductibilité de X/i se démontre maintenant de la façon suivante.

Soit tt une racine /i'^"'^ primitive de l'unité, el /(x) le facteur de X„, irréductible dans le corps R, qui s'annule pour j? = a. Si le coefficient de la plus haute puissance de x^ figurant dansy(x), est égal à l'unité, les autres coefficients ^i, a^, • . ., a^ sont des nombres entiers (th. de Gauss, § 2).

p étant un nombre premier avec /i, clP est aussi une racine primitive d'ordre n; toute racine primitive, c'est-à-dire toute

CUAPlTae XYI. — DIVISION DU GKRCLE EN PARTIES ÉGALES. 689

racioe de X;,= o peut se mettre sous cette forme. Si donc nous arrivons à prouver que /{olP) est nul pour tout exposant p premier avec n, il en résultera que /(x) est divisible par X,, et par suite identique à X;,; X,z sera donc certainement irréductible.

Il suffit pour cela de prouver que /(olP) est nul dans le cas d'un exposant/? premier, ne divisant pas n. En effet, si/{aP) est nul, les deux équations f{xP) = o et f{x) = o ont la racine commune a ; comme on suppose f{x) irréductible, f{xP) est donc divisible ç^v f(^x). Si de même /{ol^) est nul, q étant un autre nombre premier ne divisant pas n et pouvant même être identique à p, on en conclut que /(olP^) est aussi nul. En répétant le même raisonnement, on voit que, si /{olP) est nul pour tout nombre premier p ne divisant pas /i, on aura /(aH-) = o, fx étant un produit de facteurs premiers dont aucun ne divise n.

Soit donc/? un nombre premier ne divisant pas /i, a et ^ deux racines distinctes de X;,; olP et ^p sont alors des racines primitives d'ordre /i, différentes Tune de l'autre. Déterminons en effet un entier/?' par la congruence pp'^i (mod/i); élevons les deux membres de l'égalité cf,P=: ^p à la puissance /?'; on en conclut a= p.

Soient donc a, ,8, y, • . . les racines de/{x); formons, d'après (8), la fonction F(x) admettant pour racines olP, ^p^^p, .-., équation irréductible, ainsi qu'on vient de le démontrer.

Si /{x) n'est pas identique à F{x)^ ces deux fonctions ne peuvent avoir de diviseur commun; toutes deux sont diviseurs de Xn et par suite aussi de x" — i . Posons

<f{x) étant une fonction à coeffîcients entiers. En vertu de la congruence (7) nous pourrons aussi écrire

d'où, en prenant les dérivées

nx^'^=/{x)x(x)-hp^{x),

o, 6, V et 0 étant des fonctions de x k coefficients entiers. En multipliant les deux membres de la première équation par — /i,

ceux de la seconde par x^ et ajoutant, Téquation obtenue pourra s'écrire sous forme de la congruence

(9) 7i=/(ar)4>(a:) (mod/?),

<f> étant aussi une fonction de jr à coefficients entiers. Puisque n n'est pas divisible par/?, tous les coefficients de <t>{x) ne peuveni pas être divisibles par p\ nous pourrons supposer que c'est le coefficient du terme de degré le plus élevé dans <f> qui n'est pas divisible par p. Mais alors la congruence (9) est évidemment impossible; car le second membre renferme certainement un terme en x dont le coefficient n'est pas divisible par /?, ce qui n'arrive pas dans le premier membre.

Donc F(j?) est identique à/(x); par suite /(a^) est nul; c'est ce que nous voulions démontrer.

Donc :

I. La fonction Hn^ admettant pour racines les racines /i'^"" primitives de V unité y est irréductible dans le corps des nombres rationnels.

Mais cette irréductibilité de X/, a un sens encore bien plus étendu, ainsi qu'il résulte de la proposition suivante :

II. La fonction X,, reste encore irréductible, lorsqu'on adjoint au corps R des racines primitives dont le degré est premier avec n.

Soient en effet a un nombre premier avec /i, r une racine primitive d'ordre /i, a une racine primitive d'ordre a; le produit p = ra est une racine primitive d'ordre /la (§ 140). Déterminons les entiers a: et y, de telle sorte que

ax •+ ny = 1 ; on aura

(10) r = p»-»", QL = ^"y\

si donc o{x^ a) est un diviseur de X^ dans le corps R(a), il existe au moins une valeur de r, telle que cp(/*, a) soit nul. Il en résulte d'après (10)

CHAPITaS XVI. — DIVISION DU CERCLE EN PARTIES ÉGALES. 64'

Nous avons démontré que Féqualion, admettant pour racines les racines primitives d'ordre /la, est irréductible dans le corps R. Si donc h est un entier premier avec a/i, Féquation (i i) montre que Ton a aussi

(12) (p(pA««, pA«r) = o.

Désignons par 5 un nombre quelconque premier avec /i; on peut déterminer h de telle sorte que Ton ait

h^is (mod/i), A^i (moda).

L'équation (i a) prouve alors que

et, par suite, cp(^, a) est divisible par X^. Il en résulte bien que X„ est irréductible dans le corps R(a).

Ce théorème est dû à Kronecker. 11 suit en certaine manière une voie opposée à celle que nous avons prise; il démontre d'abord l'irréductibilité de X„ dans le corps R(a), en supposant que /i n'est divisible que par un seul nombre premier; il en déduit ensuite l'irréductibilité de Xyi en général (* ).

§ 175. — Les périodes de l'équation de division. Les équations aux périodes.

Occupons-nous en premier lieu des racines /i»*™«» de l'unité, dans l'hypothèse où n est un nombre premier impair; le cas du nombre premier 2 est inutile à considérer, puisque les racines carrées de l'unité, ± 1 , sont contenues dans R.

Outre la racine /i**™® rationnelle i, il existe encore n — i autres racines /i**"** primitives, dont l'expression, sous forme transcendante, est

lin Ktk »(n~l)iic

en fi n jf n

( ' ) Kronecker, Mémoire sur les facteurs irréductibles de l'expression x"*— i {Journal de Liouville, t. XIX, i854).

L'une d'elles étant désignée par r, l'ensemble de ces valeurs se représente aussi par

Dans l'exposant de r, c'est le reste qu'il donne par rapport au module n qui importe seul 5 on a en effet r^=: r^, sitôt qu'on a /i = A-(modn).

Les quantités (1), ainsi que nous l'avons déjà vu au § 140, sont racines de l'équation de degré n — 1

son irréductibilité a été démontrée au paragraphe précédent. Montrons d'abord que cette équation est cyclique.

Cette propriété découle de l'existence des racines primitives du nombre n, dont nous nous sommes occupés au § 143. Nous avons prouvé, à ce moment, qu'à chaque nombre premier n correspondent certains nombres g, qu'on appelle racines primitives de /i; ils sont caractérisés par cette propriété que les puissances

donnent pour restes par rapport au module n, dans un certain

ordre, les nombres

Le reste d'une puissance g^ ne change pas, lorsqu'on augmente h d'un multiple de /i — i . Si l'on a

g^T:=a (modn), a s'appelle V indice de a qui est dit le nombre, et l'on écrit

a = inda.

L'indice est considéré par rapport au module n — i , le nombre par rapport au module /i (§ 143).

Soit donc g une racine primitive de /i; on pourra écrire les quantités (i) sous la forme

ou bien, en posant

(3) /•^* = rA,