CHAPITRE XYI. — DIVISION DU CERCLE EN PARTIES ÉGALES

sops la forme

Tout nombre du corps R(/'), c'est-à-dire toute fonction rationnelle de r, peut se mettre sous la forme

comme, d'après (2), on a

I H- r -h r* H- . . . -t-r'»-* = o, on peut aussi écrire

(6) tf{r) = {bi-bo)r-h{bi--bo)r^-^..,-h{bn-i-bo)r'^-^—born-i.

Comme enfin les puissances de r

ne 'sont autres, dans un certain ordre, que les quantités, r, 7*1, r-ij . . . , /•/1-2) on pourra mettre o{r) sous la forme

(7) ?('•) = ar -^ ai ri-h. . .-h a„r-t rn-i.

Les coefficients a et 6 sont des nombres rationnels; quand l'un de ces ensembles de coefficients est formé de nombres entiers, il en est de même de l'autre.

I. La fonction '^{r) ne peut être nulle que lorsque tous ses coefficients sont nuls.

L'expression (5) montre en effet que f (r) ne s'annule que si tous les coefficients b sont nuls; l'expression (6) montre alors que tous les coefficients a sont aussi nuls, f (/*) ne peut donc être mis sous la forme (7) que d'une seule manière.

Convenons que a^ et rh ne changent pas de valeur, quand on augmente h d'un multiple de (/i — Oî ^° pourra poser

«/i rfi^

les valeurs de h formant un système complet de restes par rapport au module n — i .

Nous avons à monirer que le groupe de Téquation X= o n'est autre que la période de la permutation cyclique

Désignons celte période ou ce groupe cyclique par

(9) C = i,Tr, -«, ...,7r'»-«.

L'équation X=o est certainement une équation normale, parce qu'elle est irréductible, et que, d'après (3), toutes ses racines peuvent s'exprimer rationnellement en fonction de Tuoe quelconque d'entre elles; elle est donc sa propre résolvante de Galois (§ 152). Ses substitutions sont

d'après (3) on a d'ailleurs

Il en résulte que la substitution (r, r^) produit parmi les racines (4) 1^1 permutation cyclique 7t; le groupe des substitutions (10) est donc isomorphe au groupe C. Ce groupe C est donc le groupe de Galois de l'équation X = o.

D'après ce que nous avons dit au § 170, on peut ramener l'équation X = o à une suite d'équations cycliques de degré moindre, en cherchant les fonctions qui appartiennent aux diviseurs du groupe C. Décomposons n — 1 en deux facteurs e et y, tels que n — 1 = ef] les diviseurs du groupe C sont alors les groupes cycliques

(n) Ce=I,7:^7:î^ . . . , t:»/-»?';

la permutation 77^ a* même signification que la substitution (r, r^). Pour obtenir, sous une forme aussi simple que possible, une fonction des racines appartenant à €<., considérons, avec Gauss, les périodes à f termes

T) = r -+- Tg -f- Tie -f-...-4- r(/,)^, 7)1 = r, -+- r^H-i 4- rje+i-t-. . -r /•(/-De^-i