CHAPITRE XTI. — DITISION DU CERCLE EN PARTIES ÉGALES

elles se déduisent de la première d'entre elles par les substitutions (r, r), (r, ri ), . . . , (r, r<.i ). Ces quantités (12) forment ce que nous appellerons un système Ae périodes conjuguées.

Chacune de ces fonctions reste invariable, quand on y fait la substitution (r, /*<.); elles sont toutes distinctes; sans quoi Téqualion TjA — 7|A = o, dans laquelle h et k sont distincts, pourrait s'écrire sous la forme

ar -h «1 Ti 4- . . . H- a,i 5 Pn-i = o,

les coefficients a n'élant pas tous nuls (ils ont en eUet pour valeurs + 1,0, — 1); ce qui est impossible, d'après le théorème I. Chacune des fonctions (12) appartient donc au groupe C^; ces quantités sont donc racines d'une équation irréductible de degré e. Si l'on fait l'adjonction d'une de ces quantités, la détermination de r ne dépend plus que d'une équation de degré /.

En vertu des théorèmes généraux du Chapitre XIV, toute fonction des quantités r, qui permet les substitutions du groupe Ce, peut être exprimée rationnellement en fonction des quantités r^. Mais nous pouvons de plus démontrer maintenant la proposition suivante :

II. Tout élément de R(r), qui permet la substitution (r, r^), c'est-à-dire tout élément du corps R(>l), peut s'exprimer en fonction linéaire et homogène des périodes tq, t), , . . ., 7|<., .

D'après le théorème I, tout élément de R(r) peut être mis d'une seule manière sous la forme

(i3) ©(r)=2aArA;

les coefficients a^ sont des nombres rationnels, et les valeurs de h sont celles d'un système complet de restes par rapport au module (/i — 1). On sait d'autre part que

?(^g) = S^^^^^^^ ^a^-gr/^;

si donc ç(r) doit être égal à <?(/•<-), il faut que an^e soit égal à an pour toute valeur de A; par suite on a

CT/i = afi^c— ^/H-2c ~ • ■

646 LITRE m. — LES GRANDEURS ALGÉBRIQUES.

L^équalîon (i3) s'écrit donc sous la forme

0,tf — 1 0,e — 1 0,<r-l

c'est-à-dire

(i4) (p(r) = «7) -+- a, T), -f- . . . ^ ae-x irie-, ;

c'est ce qu'il fallait démontrer. Remarquons de plus que, si la fonction (p est à coefficients entiers, il en est de même des coefficients des périodes t^a*

Puisque chaque élément du corps R(7i) peut se mettre sous la forme linéaire (14)7 et cela d'une seule manière, nous dirons que le système des quantités tj, t^i, ..., t^^.i est une base du corps R(>l).

Lorsqu'on sait mettre le produit de deux périodes quelconques fih et r^k sous la forme (i4)) ^^ saura, par la répétition de cette opération, mettre toutes les fonctions rationnelles des périodes r^ sous la même forme. On saura aussi former l'équation admettant pour racines les e grandeurs tj ; il suffira d'appliquer le procédé à la fonction

{i5) Fc(x;=(j:— Yi)(iF— Yi,)...(a: — Tje^,).

Cette équation peut aussi s'écrire à l'aide d'un certain déterminant.

Soit, en effet,

(16) 'r^fih= «O.A^i -+-al,/«^Ol^-•••-^-«c-l,/«^<e-l;

les coefficients ao,A, «ï,>i, ... sont des nombres entiers, dont le calcul nous occupera plus tard. Écrivons cette équation, en donnant à h la suite des valeurs 0,1,...,^ — i :

(«0,0— "n)^ -+- «1,0 TQi -•-..■-f- ae-i,o'itf-t =0,

û^o,ff-i>l -r- «1,^-17)1 H-. . . ^(a^|,^i — rjTj«u-i = g;

comme les quantités r,, y^,, . . ., Yj^, ne peuvent être nulles à la fois, le déterminant de ces équations devra être nul ; donc

CHAPITM XTl. — DITI8I0N DU CERCLE EN PARTIES ÉGALES.

OD aura

en écrivant x au lieu de tj, la fonction ainsi obtenue est identique à Fe(x), au signe près.

Les coefficients de la fonction Ye{x) sont donc non seulement rationnels, mais aussi entiers.

On pourra maintenant former aussi l'équation de degré /, admettant pour racines r, r^, r^e^ - . -, /*(/-!)«; e»^ effet, quel que soit Xy la fonction

*c(a?) = (ar — r)(x— r^)...(a7— r(/,;c),

est une fonction dans le corps R(7l)* Ses coefficients sont delà forme ?(^)(5); ils sont eux-mêmes à coefficients b entiers, et peuvent s'écrire par conséquent sous la forme (14)7 les coefficients a de cette forme étant des nombres entiers. On les calcule aisément par des formules de Newton, qui expriment les coefficients d'une équation à l'aide des sommes des puissances semblables des racines (§ 46). En effet, d'après les équations (12) et (i3), on a

«A sA gh

7ik=r^ -+-rf-t-...-4-r;)-,,/,

c'est par suite une des sommes en question, et chacune de ces sommes est égale à une période. Il résulte donc immédiatement des formules de Newton que les coefficients a sont rationnels ; mais on ne voit pas de suite que ce sont des nombres entiers.

On peut traiter l'équation (18) comme l'équation (2); le groupe de ^e{^) est en effet C^.; si e' est un diviseur de /, tel que f= ef y le groupe C^^', est un diviseur de G*.. Au groupe C< appartient la période

Tj = /• H- Tee' -f-

r(r-\)ee'\

elle dépend donc d'une équation de degré e' dans le corps R(*/»). Si l'on suppose que les nombres e, e' sont des nombres premiers,

648 LIVRE m. — LES GRANDEURS ALGÉBRIQUES.

la suite des résolvantes est formée par des équations, dont les degrés sont les facteurs premiers de n — i .

En ce qui concerne le groupe de Téquation de degré e, dont les racines sont les e quantités t), on le trouve très simplement comme suit. On remarque que la substitution {r, r^) transforme les quantités r,A par la substitution (7^;^, ^*+a)î lorsque l'indice de tj est pris par rapport au module e. Le groupe de Ftf(x)=ose compose donc des puissances de la permutation cyclique

§ 176. — Méthode de Gauss pour le calcul des résolvantes.

D'après ce qui vient d'être dit, la résolution effective de l'équation de division dans un cas particulier devient possible, lorsqu^on sait mettre le produit de deux périodes conjuguées sous forme d'une fonction linéaire de ces mêmes périodes. Cette transformation se fait d'après une méthode simple, due à Gauss, que ooas allons maintenant exposer, après avoir changé quelque peu la notation des périodes.

Représentons deux quelconques des périodes (12) du § 175 par

de telle sorte que, si l'on a X^g"*(mod n), on aitT/^= tj^ ou 'f^^^^=: T^ind^; on aura alors

(2) < , , (mod/i);

si donc s et t ont pour valeurs les nombres qui forment un même système complet de restes par rapport au module/, on aura

Multipliant, il vient

GHAPITRB XTI. — DIHSIOIf DU CERCLE EN PARTIES ÉGALES. . 649

Supposons d'abord s fixe, et faisons la somme par rapport à ^; on pourra remplacer t par / + 5, car les valeurs que prennent simullanëment ces deux nombres donnent lieu au même système complet de restes par rapport au module/. Il vient alors

On peut d'ailleurs changer Tordre des sommations, el écrire

La somme

est elle-même une période; d'après la notation (i), c'est la période

Il résulte alors de (a) et de (3) que l'on a

Le second membre contient / termes, et la même période peut naturellement s'y présenter plusieurs fois 5 on peut même y trouver y\^^\ qui n'est pas, à proprement parler, une période, et que l'on doit remplacer par /. Lorsqu'on veut revenir à la forme homogène, il suffit de se servir de la relation

qui n'est qu'une autre manière d'écrire l'équation (2) du § 175. Supposons que l'on ait calculé d'après (4) l'expression du produit 7\7\;t, que nous avons déjà mis antérieurement sous la forme

on trouve le produit de deux périodes quelconques par la substitution (tj, tij^), qui donne

Pour montrer l'emploi de ces règles sur un exemple simple,

65o LIVRE m. — LES GRANDEURS ALGÉBRIQUES.

prenons le cas de n = i3. Le nombre i3 admet la racine primitive 2; nous pourrons employer la table d'indices donnée au § 143

Prenant e = 3, y = 4j on obtient une résolvante du troisième degré, dont les racines sont

ÏJ -- /• -h /*, -4- /> -4- /'g ,

7)1 = r, -+- r^ -4- /'T -h r,o, Y), = rj -f- rs -+- rg -^ rn.

Employant la table (7), on en conclut

73 = r -4- r-5 -u /— 1 -4- r» — tj^>\ 7)i=r*-f-r3 - - /— * -h /— s = t/*\ r^j = r* -f- r« -+- /—*-{- r-« = r/*).

En employant l'équation (4), on trouve, par exemple,

TiT,

- =T/«-j-r/-*^-f-7)(oJ|r/«)=4 -H73(«-h2r/^)=— 47) — 3t,,— 2Ti,

Les formules donnent alors

aiQi

>îî»

2Tri4- 7)1-4- 73t;

d'où [§ 175, (17)] Téquation en r,

ou bien

Le discriminant de cette équation est 169 = 13^; il est donc positif. L'équation a par conséquent trois racines réelles; comme son dernier terme est négatif, elle a deux racines positives et une négative.