III. Abstraction faite de certains facteurs constants^ une

78 LIVRE I. — LBS PRINCIPES.

fonction entière ne peut être décomposée en facteurs irréductibles que d*une seule manière.

On déduit de là l'idée du plus .grand commun diviseur de deux ou plusieurs fonctions entières et rationnelles U, V, . . . . On appelle ainsi le produit de tous les facteurs irréductibles communs aux décompositions des différentes fonctions U. V, . . . , ou encore la fonction de plus haut degré qui divise exactement les différentes fonctions U, V, .... D'après le théorème III, cette fonction est parfaitement déterminée, à un facteur constant près, pour chaque système de fonctions U, V, ....

Plusieurs fonctions U,V, W, ... sont dites premières entre elles, lorsque deux de ces fonctions n'ont pas de diviseur commun.

Ces définitions et théorèmes sont exactement analogfues aux propositions bien connues de la théorie des nombres, que Ton déduit de la théorie du plus grand commun diviseur ; dans le cas actuel, ce sont les fonctions irréductibles qui jouent le rôle des nombres premiers.

Voici encore un autre théorème du même genre :

IV. Soient u et ç deux fonctions premières entre elles ; si \}uet\J{> sont divisibles par çv, U est divisible par w.

Décomposons, en effet, les fonctions U, m, i', (v en leurs facteurs irréductibles. Un facteur quelconque de tvne peut se trouver à la fois dans u et v\ il divise donc w. Supprimons ce facteur dans U etip; on pourra répéter le même raisonnement pour un autre facteur de w, etc.

Considérons maintenant des fonctions rationnelles et entières d'une variable /

fit) := UqV" -^ U^t"'-'^ -\- . . . , U,n-\t ^ U,ny

dont les coefficients sont des fondions rationnelles et entières de n variables xi^ dont t est indépendant.

Si les coefficients Wo, «/«, . . . , u„i sont premiers entre eux, on dit que la fonction /(/) est primaire ; sinon, le plus grand commun diviseur des fonctions Uq, W|, ..., //;;, est dit le diviseur de la fonction /(^) (voir § 2).

Nous concluons de là, en supposant vrai le théorème I :