C0S — COS

7^2 est donc la racine négative, t^i la plus grande et y\ la plus petite des racines positives.

11 est maintenant facile de former l'équation du quatrième degré dont les racines sont r, r~', r*, r~5. Posons

5 = r -h /—' = 2 COS -T- > P' = r* -+- /^* = 2 COS — ^ ;

on aura

par conséquent

(II) 5»— 7jJ + 7),= 0

est Téquation du second degré en i; on en déduit, pourPéquation du quatrième degré,

(12) r*— T)r*7+- (711-+-2) r' — Yjr-+-i = o.

L'équation (n) a une racine positive et une racine négative; la première est égale à 2cos-y Au lieu de calculer la quantité r

elle-même, on calcule 2sin — ; c'est la racine y/4 — 5^ prise avec

le signe -f-.

Au lieu des trois périodes ri à quatre termes, on aurait aussi pu considérer deux périodes à six termes

I î = /• -j- 7-3 f- r^-i- r-ï -+- 7— »-4- /-*, ) Çj = r* -f- r* 4- r* 4- r-* -h r-» -f- r-«.

Le produit ^^1, calculé parla formule (4), est égal à 3 (^-+-^4)= — 3; 2^ et 2^1 sont donc les racines de Téqualion du second degré

l'expression de !^ à Paide des cosinus montre aisément que cette quantité est positive; on tire donc de (i4)

(i>) Ç- , Çi —

Si l'on opère l'adjonction de JJ et de JJi, il est facile de former une équation du troisième degré pour les périodes à deux termes. Posons, en effet,

• 5, = r* ^- r-*, Çj = r» H- r-*,

Ç^ = r»-}- r-ï, $g = r«-T- /-« ; il en résulte

en outre

Ç, $2î Sï sont donc racines de l'équation du troisième degré (16) 373— Çar«— X — i -+- Ç = o.

§ 177. — Réduction des équations de division à des équations binômes.

Déjà dans son premier mode d'exposition (Disqu. arithm.), Gauss avait ramené la résolution des équations de division à celle des équations binômes (*). Pour y parvenir, posons

( ' ) Gauss, Disq. arithm., art. 359, 360 ; disqu, circa œquationes paras uite^ rior eçolutio {Œuvres, t. II). — Lagrange, Résolution des équations numériques. — Jacobi, Sur la division du cercle en parties égales, et son emploi