GHAPITBB XTI. — DIVISION DU CERCLE EN PARTIES ÉGALES

désignons, comme dans le Chapitre précédent, par s une racine primitive de l'unité d'ordre m, par r, /'i, r2, . . . , rm-\ les racines ^ièmes jg l'unité, dans l'ordre fixé précédemment. Les résolvantes de Lagrange sont alors

0,n— t 0,ra— S

A étant un exposant quelconque, rapporté au module m.

En posant g^= 5, par suite h ^ ind^ (mod m), on pourra aussi écrire

Pour continuer la réduction de ces expressions, nous nous appuierons sur le calcul du produit de deux de ces résolvantes. Soit |ji un second nombre analogue à X, 5 et ^ deux indices, indépendants l'un de l'autre, dont chacun prend des valeurs formant un système complet de restes par rapport au module /i, à l'exception toutefois de la valeur zéro. On trouve alors

Si l'on fait d'abord la somme par rapport à l'indice /, on pourra remplacer t par st^ puisque s est différent de zéro, et que t el st prennent simultanément des valeurs formant un système complet de restes par rapport au module n. Il vient alors

(2) (£^, /•)(E^^) = VV r*t/-»-i;6'>-»-HJ»nd*£|tiad/.

Considérons d'abord le cas particulier [jl = — X, que l'on déduit

datis la théorie des nombres {Œuvres, t. VI). — Kummer, Journal de Crelle, t. 35, et Mémoires de l'Académie de Berlin^ i856.

A mentionner encore les Travaux d'EisENSTEiN et de Caught.

La théorie de la division du cercle en parties égales a été exposée dans son ensemble, avec toutes les indications historiques, par M. Bachmann, dans son livre La division du cercle en parties égales; Leipzig, 187a.

de (2) en faisant la somme par rapport à s :

(£\r)(e->, r) = Ve-^ind^y r*('+i'.

Dans cette formule, on a

X^ r*<'-»-*^= — I , pour i = 1 , 2, . . . , /i — A ;

X r^u-i-i) ;i , ^ pour i = /i — I ;

comme, d'autre part (§ 143),

ind(n — i)= 9 £ ' = — I

il vient

Dans la somme prise par rapport à ty les valeurs de t sont celles d'un système complet de restes par rapport au module n — 1 ; si donc on suppose "k non divisible par n — i , on a

ye-Xindf=o, l./I — 1

et par conséquent

(3) (s>,r)(e-X,r) = (-i)Xn;

si au contraire X est divisible par n — 1, on a

Revenons maintenant à la formule (2), en supposant que X + p. n'est pas divisible par n — 1. Dans ce cas,

^y £(X-4-|Jj Ind ^ o ;

on peut supprimer dans le second membre de (2) les termes cor-