CHAPITRE XYI. — DIVISION DU CERCLE EN PARTIES ÉGALES

respondants k t = n — i . On trouve ainsi

L*indice / étant supposé fixe, les valeurs de ^(^ + i) et de s forment simultanément un système complet de restes par rapport au module n; on a donc

la formule (4) donne alors

en posant, pour abréger,

(6) V E|i.lndf-(X+[i)lndU-M) = 4/x,|t(e)»

la somme X -f- [jl n'étant pas divisible par m = n — i .

Ces quantités i^ sont fonctions des racines e d'ordre n — i de l'unité; leurs coefficients sont des nombres entiers; elles sont donc connues, quand on suppose données les racines e d'ordre n — ï ; ce sont des nombres du corps R(e).

Supposons maintenant \ divisible par |ji; remplaçons donc X par [jlX, et posons

a pourra donc être une racine non primitive d'ordre n — i, par exemple une racine d'ordre e (en supposant, comme précédemment, m = e/, et [jl divisible par/, par exemple égal à/); le cas de a = f , par suite e égal à i , est à exclure. Nous poserons alors

(8) V a'nd/-(XH-l)(Ind/+i) = ^^(gj) .

656 LITRE m. — LES GRANDEURS ALGÉBRIQUES.

^\{ol) est un nombre du corps R(a), qu'on peut calculer à l'aide d'une table d'indices ; le reste de X est pris par rapport au module e. La formule (5) donne, dans cette hypothèse,

(9) («\ r)(7., r) = (a>.+«, r)^xi^) ;

cette formule est exacte tant que [jl(X + i) n'est pas divisible par n — 1 ; si [JL et m sont premiers entre eux. a est une racine primitive d'ordre m ; la formule est vraie pour

si[jL et m admettent un plus grand commun diviseur/, et si m est égal à ef, elle est vraie pour

Si a^ n'est pas égal à i , la formule (3) donne

Les formules (g) et (lo) suffisent pour calculer, non seulement les quantités r, mais aussi toutes les périodes r,, à l'aide de radicaux dont les indices sont les diviseurs premiers de m ; les fonctions ^\ sont, par hypothèse, des grandeurs connues.

Les périodes à /termes, dans le cas de/= i, comprennent les quantités r; passons donc immédiatement à la détermination de ces périodes.

Soit a une racine primitive d'ordre e, et soit ^=f. On aura

ou bien [§ 175, (12)]

(11) (a^-, r) = (a^, 7j) = 7) -+- a^'ïji -4- a*^r)î h-. . . -h a'«-iJ^T)c i ;

les formules (9) et (10) donnent alors

(is) (a\Ti)(a, t)) = («>+', r))«j«x(a), (i3) (a\Y,)(a-X,rJ = (-i)/>n,

L'équation (i3) montre qu'aucun des nombres (a^, ti) ne peut être nul; l'équation (12) montre de même que les nombres ^x(a)