CHAPITRE XVI. — DIVISION DU CERCLE EN PARTIES ÉGALES

sont différents de zéro. Si Ton écrit les équations (12) correspondant aux valeurs i , 2, . . . , X — i , il vient

(« ,rJ(a,T,) = (aî,r,)^, (a),

On en déduit, par multiplication et suppression des facteurs communs (a^,r,) . . . (a^""*, t,),

(i4) (a, ri)> = (a\ 7i)4/,(a)i|;,(a) . . . ^^X-tCa).

La quantité (a^, t)) est donc exprimée en fonction rationnelle de (a, Tj). Faisons )^ = e — i dans l'équation (i 4), il vient

(a, 7) )*-» r= (a-1, 7i)4/,ca) 4;,(a) . . . 4/c-j(a);

multiplions les deux membres par (a, tj); servons-nous de l'équation (i3) sous la forme

il vient

le calcul de (a, 7\) est ramené de la sorte à l'extraction d'une racine d'indice e. Si l'on /ait e = /n, on trouve (e, r).

Appliquons ce procédé au cas intéressant de n = 17; il conduit à ce résultat géométrique remarquable, trouvé par Gauss, que la division du cercle en 17 parties égales dépend d'une suite d'équations du second degré; le polygone régulier de 17 côtés peut donc être construit avec la règle et le compas.

Le nombre 3 est une racine primitive de 17; la table d'indices est la suivante :

o 1 ?t 3 45 6 7 8 9 10 II la i3 ]4 iS

I 3 9 10 i3 5 i5 II 16 14 8 7 4 12 2 6

tin

En posant /• = e " , les périodes à deux termes ont pour va-

leurs

LIYRB III. — LES GRAia)£ORS ALGÉBRIQUES.

= acos

Tfi = 2 COS

2 COS — y

87C 2 COS y

a COS — f «7

'il

rr-