it . ir . 3t

COS — — COS — = — 2Sin :— sm —7, 17 17 3i 34

611 5 . 7: . ut:

— COS h COS - = 2 sm ;r- sm --- :

(') Voir V. Staudt, Construction du polygone régulier de dix-sept côtés {Journal de C relie, t. 24; 1842).

66o UVRB 111. — LES GRANDEURS ALGÉBRIQUES.

or, sîn-~ est plus grand que sin-^; la somme de ces deux expressions est donc positive; donc aussi ( — i,t^). On trouve de même pour la partie réelle de (t, t^)

7) — T)î-h TJt — 7)0 = aCOS h 2C08 h 2 COS 2COS >

quantité évidemment positive; enfin la partie réelle de (a, 7|) est

T) -- T^4 -+- -7^(7^1 — 7)8—^)8 -+■ Tp)

2it 8ir /- / 6it 3ir 77: S-stX

2 cos ^- V 2 ( cos H cos h cos cos — I »

quantité positive.

§ 178. — Propriétés des nombres ^,

Les formules établies au paragraphe précédent pour les résolvantes conduisent à de nombreuses applications, sans qu'il soit nécessaire de spécifier la valeur du nombre premier n, en faisant seulement des hypothèses particulières sur le nombre e\ elles fournissent donc des théorèmes arithmétiques pour des catégories entières de nombres premiers.

En Algèbre, elles nous permettent de résoudre des équations cycliques de degré donné, en nombre aussi grand qu'on le vou-> dra. Avant de traiter les plus importantes de ces questions, nous allons émettre quelques considérations générales sur les fonctions ^, définies au paragraphe précédent.

Pour calculer les nombres tj^x,(i(e)[§ 177, (5)], on se sertd'une table d'indices, comme nous l'avons vu pour n=i7. Mais il existe entre ces fonctions des relations qui permettent de les réduire à un nombre moindre. Jacobi a fait des recherches remarquables à ce sujet ( * ).

D'après sa définition même, la fonction ^x,!i(s) i^^ change pas^ quand on y permule X et [jl, quoique son expression prenne alors

(*) Kotr Kronecker, Contribution à la théorie des équations abéliennes, {Journal fiir Mathematik, t. 93.)