GUAPITBK XYI. — DIVISION DU CERCLE EN PARTIES ÉGALES

une autre forme [§ 177, (6)]. On obtient donc la même fonction ^x(a)> lorsqu'on remplace X et [x par 'kf et /, ou par/ et X/; donc [§177, (8)]

Si donc les deux nombres X et X' vérifient la congruence (i) XX'^i (mod^),

il vient

ijOc(aV) = ^ a^X'lnd/-(XV+X')ln(IU+l) = ^ ^ '"<*'- <X'+l)lnd i/-i-I)^

ce qui s'écrit

Remplaçons ensuite, dans l'équation (5) du § 177, X par — X — (jL, ou bien X + [x par — X (en supposant que X n'est pas divisible par m), il vient alors

Multiplions le premier membre par

(eX-4-ii, ^)(eX, r)'

transformons les deux termes de la fraction obtenue par la formule

(Ê\r)(e-\r) = (-i)>n [§177,(3)]; il vient

OU bien

4;X p,,p,(E) = (-i)ti^X,j,(6);

remplaçons X et ;jl par X/ et/; déterminons un nombre X" par la congruence

(3) X-hX'-;-ir-o (mode):

cette équation s'écrit alors

(4) ^\w=(-iy^<^)-

On peut combiner de nouveau cette formule avec la formule (a), et ramener ainsi le nombre des fonctions à calculer, pour une valeur déterminée de e, à un nombre moindre. En supposant que e désigne un nombre premier impair, Jacobi a montré que le nombre des fonctions ^x» à Taide desquelles on peut exprimer toutes les autres, est égal à l'entier immédiatement supérieur èi^e.

On trouve une troisième formule, en mettant e""* au lieu de e, dans Téquation (5) du § 177, et faisant ensuite la multiplication; on forme ainsi

L'équation (3) du § 177 montre que Ton trouve ainsi

(5) ')'X,yL(04'Me-») = /ï;

en remplaçant de nouveau X et jjl par Xf et/, on est conduit à la formule particulière

Mentionnons finalement une propriété des fonctions ^, qui est aussi une conséquence immédiate de leur définition [§ 177, (5)].

Soient, en effet. A, [jl, v trois nombres tels que )^4-[jLet). + jji4-v ne soient pas divisibles par m; il en résulte alors

donc le produit ^x,ij.(ê) ^x+|i,v(e) ne change pas de valeur quand on permute arbitrairement X, |jl et v (à condition que X + v et [jl -h v ne soient pas divisibles par m). C'est ainsi que l'on a, par exemple,

si l'on remplace dans cette formule X, jjl, v par 2Xy*, y, /, et si Ton observe que i(%f^2\f{^) est égal à ^x(a^)) il vient

(8) 4'tX(«)4/,X^-i(at)=4'i((i)4'X(a*),