CHAPITRE XYI. — DIVISION DU CERCLE EN PARTIES ÉGALES
CD supposant qu'aucun des nombres 2, 2X-I- 1, 2X-h 2 n'est divisible par e,
Jacobi a essayé de représenter à l'aide de ces formules, pour un nombre premier e donné, les e — a fonctions i/\ par les valeurs conjuguées d'une seule, c'est-à-dire par ^«(a), <i,(a2), ^, (a'), ...; il a effectué le calcul jusqu'à e = 28. Il semble qu'il ait supposé que ce mode de représentation était général; d'après les recherches de Kronecker, il n'est pas vraisemblable qu^il en soit ainsi.
Considérons comme exemple le cas de e = 7. Dans ce cas, on a
A — D| tf} Oj A y !•
Les formules (2) et (4) donnent alors
d'où, par suite.
Si dans la formule (8) on fait X = i , on trouve
i};t(a)4/8(a) = <|/i(a)i};i(a«); enfin, d'après (6), on a
Transformons, à l'aide de ces égalités, la formule (i5) du § 177,
(a, Tj)7=n4/i(a)t!/i(a)^^3(a)4'*(«)4'»(«); il vient
A l'aide de cette formule, on vérifie immédiatement la relation (i4) du § 177,
Terminons ces considérations sur les fonctions t{/ par la démonstration d'un théorème, qui nous sera utile plus tard.
Déterminons un entier positif v plus petit que m, par la congruence
(10) XH-[ji-hv = o (modm);
on peut alors représenter la fonction <J^x,ïi(£)î définie par l'équation (6) du § 177 de la manière suivante :
(il) tI;x,pL(6)= V e|i»n<«'+vlnd(r-Hl).
Remplaçons dans celle expression la racine m'*°® de Tunilé s par la racine congruentielle primitive g du nombre premier n, base du s^^stèmedes indices ; en d'autres termes, formons le nombre
entier
Envisageons ce nombre par rapport au module n; on pourra étendre la somme jusqu'à t = n — i; car, pour cette valeur, l -h i est congru à zéro. Il vient ainsi
Développons (t-{-\y par la formule du binôme; désignons par Cj les coefficients binomiaux; on trouve
(i4) ^\^{S) =2^^^ 2 '^■^'' (mod/i).
Soit t =: ^*(mod/i); les valeurs de s seront celles d'un système complet de restes par rapport à m, et l'on trouve
Mais, d'après la formule de sommation d'une progression géométrique,
(^{1-K/i — 1 ) V gs^V--^f^^ = gm(^+h) I .£= o ( mod n ) ;
par conséquent
(i5) V ^'([i+^Jr-a (modn),
GHAPITRB XYI. — DIYISION DU CERCLE EN PARTIES ÉGALES. 665
excepté si l'on a
(1 + /i ^ o ( mod m ) ; dans ce cas, il vient
(i6) V ^*{it-HA) = /n == — c (mod/i).
Supposons X et (JL compris entre o et m ; on a
I** V = m — \ — \Lj si X-f-|x<m,^
2** v = 2/n — X — [JL, si X-+-|ji>m.
L'exposant u + A dans la somme (i4) prend donc, dans le premier cas, les valeurs
fjL, [x-hi, ..., m — X; dans le second, les valeurs
[ji, fJt-f-i, ..., im — X.
Donc, dans le premier cas, l'hypothèse exceptionnelle u 4- A ^ o (modm) ne peut se présenter^ dans le second cas, elle se présente une seule fois, pour h^= m — a.
En ayant égard aux formules (i 5) et (16), et remplaçant Cy par
sa valeur „. , . „.l -, la formule (i4) nous donne
»" KitC^)^»* si X-i-jx</n;
Ces congruences ont lieu par rapport au module n.
§ 179. — Les sommes de Gauss.
Il a été démontré au § 175 que, lorsque n — i est égal à ef^ les périodes rj, 7)1, ..., 7|^i sont racines d'une équation à coefficients entiers de degré e. Celte équation a toutes ses racines réelles,
lorsque / est pair ; — - — est alors un multiple de e ; par conséquent
666 LIVRE m. — LES GRANDBGBS ALGÉBBIQUES.
r el r~* figurent dans la même période. Si au contraire / est impair, toutes les racines sont imaginaires.
Il est d'un intérêt extrême d'examiner cette équation de degré e pour certaines valeurs particulières de e, sans faire aucune hypothèse sur le nombre premier n, sauf toutefois celle que n — i est divisible par e.
Supposons d'abord e = 2, ce qui est permis pour tout nombre
premier impair; ti et 7^4 sont alors les deux périodes à termes ;
nous les désignerons par A et B, de telle sorte que
A = r -t-rî-+-r4-i-...H- /-«-s, B = Ti -f- Tj -h /"j H- , . . -h r^-j.
Les quantités /'i, r^^ r^,^ ,. . ont les exposants ^®, g^^ . . . , ^"~'; les exposants de g sont donc des nombres pairs. Les exposants de r sont donc les restes quadratiques de /i (§ 145). De même, les exposants de r, dans la somme B, sont les non-restes.
Si donc on désigne les restes par a, les non-restes par 6, on a
et
Ces expressions A, B s'appellent les sommes de Gauss, Faisons dans la formule (10) du § 177 l'hypothèse
e = 2, jjL=/= , A = i, a = — i;
il vient
comme d'autre part
A-i-B= — I, il en résulte
= -i±V^(-i)"î'n, 2B=-iip\/(-i)"«*
Le signe à prendre devant le radical dépend du choix de r ; cette quantité déterminée, il en est de même du signe. Celte question
