CHAPITRE XYl. — DIVISION DU CERCLE EN PARTIES ÉGALES

présente certaines difficultés particulières, auxquelles Gauss a consacré un Mémoire spécial (*).

Si Ton pose

le signe à prendre dans les formules (2) et (3) est déterminé; la ' formule (2) peut s'écrire, en utilisant le symbole de Legendre (§ 14S), ^

Si Ton fait prendre à v la suite des valeurs 1 , 2, . . • , ^ > on sait (§ 145) que

(6) J][(rv-r-v) = (20^ JJsin^==t'^/n,

\/n devant être pris avec le signe +. Rapprochant ces formules de Téquation (5), et posant e =± i, il vient

î, ff — !

le signe va être déterminé à l'aide de cette équation. La fonction entière de la variable x

(8) eJJ(^v:P«-v)2(^)^*

s'annule pour j; = r; comme l'équation de division est irréduc-

(^) Gauss, Summatio g uarundam sérier um singularium (Œuvres, t. II). — Ce signe a été déterminé d'autre manière par Dirighlet, Gaughy, Kronecker, à Taide de l'Analyse. La méthode, suivie par Gauss, recourt à l'Algèbre seule. — Kronegrer a indiqué {Journal de Liouvilley a* série, t. I) une méthode, qu'on peut ramener à être purement algébrique, en se servant d'une remarque de M. De- DBKiND {Journal de Schlômilch, t. XV; Comptes rendus, p. ai). — M. Mertens a indiqué dernièrement un procédé, qui conduit au but par l'emploi de formules trigonométriques élémentaires {Comptes rendus de V Académie de Berlin, 27 février 1896). Nous employons dans le texte la méthode de Kronecker, simplifiée par M. Dedekind.

lible, elle est donc divisible par

rr'» — I

La fonction (8) s'annule aussi pour :& = i, puisque le nombre des restes quadratiques est égal à celui des non-restes; donc elle est aussi divisible par x — i; par suite, elle l'est par or" — i. Si donc on désigne par /(^) une fonction entière et à coefficients entiers de x^ on a l'identité

Remplaçons, dans cette identité, j: par i-HjKÎ ordonnons par rapport à j^; dans le premier membre, on a

le premier membre renferme donc y * en facteur, et ce facteur a pour coefficient

(lo) &I I (2v — /i)r:=£2 * 1.9... (modn).

Le coefficient dey * dans le second membre de l'équation (9) devra être égal au précédent; leurs restes par rapport au module n seront donc égaux. Mais, dans le développement de

tous les coefficients, sauf le dernier, sont divisibles par n ; par

ir— 1

conséquent, le coefficient de j^ * , dans le développement de (a:" — i)f[x)^ est divisible par /i, puisque f{x) est à coefficients

entiers. D'autre part, le coefficient de j^ * dans x* est égal, diaprés la formule du binôme, à