CHAPITRE I. — FONCTIONS RATIONNELLES

aussi une fonction primaire; le diviseur du produit de deux fonctions non primaires est égal au produit des diviseurs de ces fonctions,

La démonstralion est la même que celle du théorème correspondant du § 2.

Soient

( o(t) — U^ty- -HPi^H--» -h.-.-^t'jjL

deux fonctions primaires, et

(2) Fu; = Uo<'"-^H'-^Ui^"»-+-i*-i-H.. .--U,„-H|x

leur produit. Soient r et 5 deux nombres quelconques pris dans les suites i, 2, ..., m et i, 2, 3, ..., [jl(§2). On aura

w étant une fonction irréductible qui ne divise pas tous les coefficients u et v^ choisissons dans la formule (3) les nombres r et s de telle sorte que Ur et Vg soient les premiers coeflBcients u et v non divisibles par w. Par suite, Ur+t ne peut être divisible par w, puisque tous ses termes sont divisibles par (v, sauf le premier; F(^) est donc bien une fonction primaire.

Il en résulte immédiatement, si /? et ^ sont des fonctions arbitraires, rationnelles et entières par rapport aux ^/, que pq est le diviseur du produit des fonctions non primaires /?y(^), qo{t), ce qui démontre la seconde partie du théorème V. On en déduit, de plus, la proposition suivante :

VI. Lorsqu'une fonction rationnelle F(^) des n-\-\ variables Xi et t est décomposable en deux facteurs, entiers par rapport à t et rationnels au moins par rapport aux variables Xi, elle est aussi décomposable en deux fonctions rationnelles et entier es par rapport à ces /i+ 1 variables.

Par hypothèse, il existe une fonction entière et rationnelle iv des seules variables Xi et deux fonctions entières et rationnelles des variables Xi et t, telles que

8o LITRE I. — LES PRUVCIPES.

d'après lelhéorème V, iv devra diviser exactement le diviseur du produit /^i {i)fi{^)j il en résulte qu'on a aussi

/{l) et ^{t) élant des fonctions rationnelles et entières des variables Xi et /, du même degré par rapport à t quey"i (t) et 0| (/). C'est ce que nous voulions prouver.

Il resuite aussi de ce qui précède que deux fonctions F(/) et /{i), entières et rationnelles par rapport aux /i -f- i variables Xi et l^ premières entre elles dans le sens défini précédemment, sont encore premières entre elles, si on les considère comme fonctions de la seule variable /. Appliquons-leur en effet le procédé de la recherche du plus grand commun diviseur; si elles admettaient un plus grand commun diviseur entier par rapport à t, mais fractionnaire par rapport aux variables x,-, on pourrait déterminer une fonction T entière par rapport aux x, et à / et une fonction entière P des seules variables x/, telles que Ton ait

F^ Ql/i élant des fonctions entières sans diviseur commun. Si donc on désigne par P|, />|, M les diviseurs des fonctions F|(/), y, (/), T, on voit que P| et />i sont premiers entre eux ; P, M et />i M sont

divisibles par P, donc (th. IV) M est aussi divisible par P; par

conséquent F(/) ei/(i) sont divisibles par la fonction entière p >

ce qui est contraire à l'hypothèse.

On sait alors (§6) trouver deux fonctions entières Q et q desXi et de t et une fonction X des seules variables x/, vérifiant Tidenlité

Multiplions les deux membres de cette identité par ^(t), autre fonction des variables X| et /; il vient

Q*(/)Fi^r)H-y*^/>/(^0 = X*{o.

Si donc ^(/)F(/) est divisible pary(/K il en est de même de

En désignant par o(t) et 'y(/) deux nouvelles fonctions entières