i = ( — i) (mod/t); comme, d'autre part

il résulte de l'équation (12) que l'on a

, (/» — iMrt — S) n-f-1

( (mod/i).

£EH(-1) « 2^* (X-l)(A-,-2)..Y^-î-^^

Ordonnons l'expression sous le signe V] par rapport aux puissances de k\ cette somme prend la forme

2 A:«-i + a, 2 A:'*-« H- . . . -+- a^^, 2 X:~ les coefficients cr<, ^2, . . ., a„^ étant entiers. D'après les équa-

lions (22), (28) du § 143, cette expression est congrue à — 1 par rapport au module n; la formule (12) donne alors

es( — 1) ^ (mod/i).

Comme e ne peut avoir que les valeurs + i et que n n'est pas égal à 2, il en résulte

Portant celte valeur dans l'équation (^), il vient, d'après (6),

Désignons par s un nombre quelconque non divisible par n ; les valeurs que prennent simultanément s et sk forment deux systèmes complets de restes; on peut donc remplacer s par sk dans la somme (i 5); il en résulte la formule générale

le signe à choisir dans (2) et (3) est complètement déterminé par là. Si Ton pose, en effet,

on a

A — B= (-jy/n, n^i (mod4), A-.B = i(-\i/n, 71 = 3 (mod4),

D'après ce qui a été dit (§ 175), les quantités /•** sont racines d'une équation de degré — ; — > et de même les '^ quan-.

tités r*; les coefficients de ces équations sont des fonctions entières, à coefficients entiers de A et B. En désignant par Y(jc) et Z(x) deux fonctions entières de^, à coefficients rationnels, la pre-