CHAPITRE XTI. — DITISION DU GERGLB EN PARTIES ÉGALES

mière de degré * la seconde de degré —^ i, on aura

dm Se

( 2A(a7)=2lT(a:-ra)= Y(rr)-Z(a?)y (^)r*,

les coefficients des fonctions Y(^), Z(j?) se calculent par les formules du § 175^ ce sont, par conséquent, des nombres rationnels et entiers.

Multiplions membre à membre les deux équations (18); désignons par X la ménfe fonction que dans Téquation (2) du § 175; on aura l'identité

(19) 4X = ¥>(«)-(- i)« nZ«(«).

Enfin on peut démontrer de plus que les deux fonctions

contenues dans les équations (18), sont irréductibles dans le corps

R, \ ( — 1) * n, qui se déduit du corps des nombres rationnels

par l'adjonction de y/dz n.

Soit en effet <ï>4 un diviseur de <ï>; formons le produit ^i 0',,

^\ se déduisant de ^i par le changement de signe de >J± n; ce produit est une fonction de :& à coefficients rationnels, ayant une racine commune avec X, et, par suite, divisible par X. Le degré de ce produit ne peut être inférieur k n — 15 le degré de ^4 ne

peut donc être inférieur à — - — > qui est précisément le degré de ^ ;

donc ^1 est égal à ^ à un facteur constant près. ^ est donc une fonction irréductible.

Supposons qu'on ait déterminé, par un procédé quelconque, des fonctions Y et Z à coefficients entiers, vérifiant l'équation (19);

la fonction Y — Z y/ ( — i) * n aura un diviseur commun avec A(jr), à condition de choisir convenablement le signe du radical; le degré de ces fonctions étant le même, elles seront donc identiques à un facteur constant près. Ce facteur numérique sera dé-

672 LITRE III. — LES GRANDEURS ALGtBRIQUES.

terminé, si l'on suppose Y de degré plus élevé que Z el le coeffi-

oient de a: * dans Y égal à -H 2. A condition de choisir convenablement le signe de Z, on pourra porteries valeurs de ces fonctions dans les équations (18); il vient ainsi

Le signe de Z se détermine de la manière suivante. Faisant a: = i , il vient

JJO -r*)' - [J(l - r«) = Z(,)2(^) '•*; on voit alors, comme précédemment, que la fonction entière de a:

JI(i-^*)-IJ(ï-^«)-z(i)2(^)^*=(^»-o/(^)

est divisible par x'^ — i ; /(x) est donc une fonction entière à coefficients entiers. Remplaçons, de nouveau, x par i -\-y\ identifions

Jes coefficients de y * dans les deux membres ; il vient, comme précédemment,

[(-i)^JJ(^') + (-i)^'jJ(a)]i.a...^ = -Z(i) (modn),

d'où [§145, (17)]

(22) Z(i) = — 2.1.2. . . (mod/i);

cette congruence définit la fonction à choisir parmi les deux fooe* tions opposées Z(x) (*).

Considérons, par exemple, le cas de /i = i3; prenons d'abord Y et Z avec des coefficients indéterminés; quelques essais fournissent comme solution de l'équation (19) :

(') D'après une lettre de M. Dedekind.