CBÀPITRE XYI. — DIVISION DU CERCLE EN PARTIES ÉGALES

ainsi qa'on le vérifie aisément a posteriori ; on a donc Z(ï)= 3,

et comme

3= — 2.1.2.3.4.5.6 (mocli3),

le signe choisi pour Z est bien celui exigé par l'équation («2). L'équation, admettant pour racines

pretid alors, d'après {i5), la forme

y/i3 étant pris avec le signe 4-. En prenant ce radical avec le signe opposé, on trouve l'équation, dont les racines sont

-+-iiZE ±îii!E -hîliJ!

§ 180. — Les périodes à — ^— et — — termes.

Passons maintenant au cas de e = 3, en supposant n — i divisible par 3 ; il en résulte

n = 7, i3, 19, 3i, 37, 43, — Soit p une racine cubique imaginaire de l'unité

déterminons les trois périodes 71,7^, , 7J2 à — ^ — termes; nous avons

vu au § 175 qu'elles sont racines d'une équation cyclique du troisième degré. D'après les équations du § 177, on peut écrire

ou bien, puisque — 2 zz i (mod 3),

674 LIVRE III. — LBS GaANDBURS ALGÉBRIQUES.

Ce nombre <{^i (p) peut être mis sous l'une des deux formes

by/—6

rt, 6, A sont des nombres entiers et A est égal à 2a — 6. Il vient alors

les formules (10) et (i5) du § 177 donnent ensuite

(pi 'n)'= ri^\{9\ (p*, r^y=ri^\{?^). (P» ^i)(pS tq)= «» 4'î(p)4'i(p*)^ '^

équations dans lesquelles on pose

(p, ïj)= r^-HpTjiH-pÎTjj, (p*, r^) = 7]-+-p«r)tH-p73j.

Prenons par exemple les deux cas de n = 7 et /i = 1 3 ; partons des racines primitives 3 el 2, et employons les tables d'indices suivantes :

Jl • • • •

ti . - 13.

I oi4^95ii38io 7 6

on aura, pour /i = -j, et pour /? = i3

a-h6p =— ( I -f-3p), rt-h^p=— (4-^3p).

De ces formules on déduit aisément Téquation du troisième degré, admettant pour racines r^, tji , yij. En vertu de la relation (4), elle a la forme

T,»-|-7)*-h pT^ -f- Y = O,

P et 7\ étant des coefficients indéterminés, mais entiers. Efiecluons la multiplication indiquée dans (6); il vient

n = 7)ï4-riJ-+-r,J— r^r.t — r,T)j— ■/;iTi, = (7i 4- r,, -4- r,,)' — 3^;