CHAPITRE XYI. — DIVISION DU GBRGLB EN PARTIES ÉGALES

par suite

Efiectuons de même les cubes de la formule (5), et posons pour rinstant

*3= >!»-+- TiJ-h r,5, s = r^'r^iH- Tijr^,-h Tjjr,, s' = T^Jr^ -h r^*T,i-h r,»!),;

on trouve alors

Les formules (8) et (9), jointes à Téquation (9) du § 46, donnent

5, = — /i — 3y, donc

(10) /iH'i(p)-Hi] = — 9ï-»"35p-h35'p«, et

(11) n[4'i(p')-i-i] = — 9T^-35p«4- is'p,

équations auxquelles il faut joindre

obtenue en élevant les deux membres de (4) au cube.

Ajoutons membre à membre les trois dernières équations; on

trouve

ou enfin, en vertu de (2) et (3'\

(12) — 27Y = /lA H- 3/1 — 1;

Y étant un nombre entier, on en conclut

(i3) A = i (mod3).

Les formules (2), (3), (6) donnent

ou bien

' 676 LIYRB III. — LES GRA.NDEURS ALGÉBRIQUES.

substituons cette valeur dans (12) :

D'après (i3), le nombre A est de la forme i 4- 3/?2*, on en conclut

A' H- 3 A* — 4-30 (mod27)

et, par suite,

36«(A-+-3)e5 0 (mod27),

donc, enRn

36*==o (mod27).

b est dune divisible par 3; en posant 6 = SB, Téquation (i5) donne

Il est de même aisé de calculer la racine carrée du discriminant, c'est-à-dire la quantité

(17) V^D = (t) — Tf),)(rj — Tj,)(TQi--'nî)= s — s'\

il suffit de soustraire membre à membre les équations (10) et (1 1); on en déduit

(18) /D=r/lB.

L'équation du troisième degré, admettant comme racines les trois quantités 7\, Tji, iri2 a donc trois racines réelles, ce qui résultait d'ailleurs de la remarque faite au commencement du § 179.

Elle se simpHGe en posant

3T)^-I--=^:, et devient

(19) Ç» — 3nîJ — /i A = o.

Substituons dans le premier membre, à la place de ^, la suite des nombres

(20) — 2\//^. — //t, -f-//i, -+-2//1; on trouve comme résultats

d'après (.16), la valeur absolue de A est inférieure à 2.\/n\ ces résultats sont donc alternativement négatifs et positifs. Chacun