CHAPITRE XVI. — DIVISION DU CERCLE EN PARTIES ÉGALES

des intervalles de la suite (20) contient une racine et une seule. Reste h déterminer quelles sont les racines de l'équation du troisième degré qu'il faut prendre respectivement pour 37j-f-», 3x^1 + I, 3Tj2-f-i. En général, on peut affirmer que le signe du produit (17) est le même que celui qui figure dans (18); ce dernier est déterminé par la définition (i), (î), mais dépend encore du choix de la racine primitive g. Parmi les six correspondances possibles, on en exclut donc trois. Le choix de chacune des trois autres dépend de celui de r, et donnerait lieu à des recherches analogues à celles qui ont été exposées au paragraphe précédent, à propos de la détermination du signe de la racine carrée (* ).

Les formules (i4) et (16) permettent d'énoncer le théorème suivant :

Soit n un nombre premier de la forme 3Ar-hi; on peut mettre n sous la forme à^ — ab-{-b^, et ^n sous la forme A* -h 27 B^, a, 6, A, B étant des nombres entiers.

Il en résulte qu'on peut aussi mettre n sous la forme x^-+- iy^. Si, en eflet, un des deux nombres a ou 6, a par exemple, est pair, on aura

si a et 6 sont tous deux impairs, il vient

De même, les périodes à deux termes des racines neuvièmes de l'unité satisfont à une équation du troisième degré; cette équation joue un rôle important dans la théorie générale des corps relatifs à la trisection; nous allons donc la considérer ici, quoiqu'elle appartienne à un domaine plus général, celui dans lequel l'ordre des racines de l'unité n'est plus un nombre premier.

Une racine neuvième de l'unité satisfait à l'équation du 6*^ degré

(ai) r^~ r^-^\ — Q\

(') KuMMBR, Journal fur Mathematik, t. XXXIL

il existe trois périodes conjuguées à deux termes elles sont racines de Péquation du troisième degré

(23) 11>— 3Tl-hI = 0.

p étant une racine cubique de l'unité, on pourra poser ce qui conduit aux résolvantes

(24) (p, T]) = 7) -h p7)'-f- p«T)', (p-1, Ti) = 7) -h p-* V-H P-^'Ï';

tenant compte de (22) et (21), on en déduit

(p,Ti) = 3r, (p-t,T^)=3r-i; par suite

(25) (p, Ti)3 = 27p,

(26) (p, Tr))(p-ST1) = 9»

ce qui est analogue aux formules (5) et (6).

Examinons en quelques mots le cas de e = 4 î '1 se produit pour les nombres premiers de la forme 4/4- ij/* étant entier; donc pour 71 =: 5, i3, 17, 29, 87, ^i , . • . .

Soient r), tj,, y|2, rja les quatre périodes à/termes. Le nombre a du § 177 doit être remplacé par t ; il vient donc

(— i»'î)=^i— 'Ji-H^iî— "ns, (— t, Tj) = 73 — ITJt — T)i-4-irj3,

ou bien, d'après Féquation (8) du § 177, en remarquant que — 2^+2 (mod4)î

C 4/1 (t) = Silndf-j-iiiidU+l)^

a et b étant des nombres entiers. ^i{i) est de même forme que <{/a(/); nous allons ramener ces deux fonctions l'une à l'autre. iQ -I- 7|2 et Tjj + Tjs sont les deux périodes à 2/ termes; d'après