CHAPITRE XVf. — DIYISIOli DU CERCLE EN PARTIES ÉGALES

les résultats trouvés au § 179, on a donc

(ag) (— i,Trj) = ■»)-*->;* — -ïî! — 108 = /Â;

comme d'autre part r, -h r^ -h r^2 -+- ""is est égal à — i, il vient

(3o) 2(7)-h7)t) = — n-v/^, 2(r,,-i-7is) = — I — /n;

le signe de ^n devra être déterminé, comme on l'a fait au § 179; on peut le supposer positif, en choisissant convenablement r. D'après les équations (i4) et (lo) du § 177, on a aussi

donc, en vertu de (29) et de l'équation (i5) du § 177,

(32) \(h-ny=h(i)^^ (-^T))«=4;i(-0v/^,

on en conclut

(33) Mi) = i-iy h(i) ^ {-iVia -^- bl)',

donc, d'après (3i),

Pour former l'équation du quatrième degré, admettant comme racines Y|, yii, 712î "yisj cherchons d'abord l'équation du second degré, dont les racines sont 7| et 7\a ; elle résulte des deux formules

2(>;-HTiî) = — i-i-v/^,

Par élévation au carré et par soustraction, il vient, d'après (3i) et (32),

Les formules (3o) et (35) déterminent les coefficients de l'équation du second degré cherchée. Ce sera donc

^i|. 5 ^ i-i-/i— 2/i(— i)/ __ f TQ ^ a(— i)/-M ' 2 iG

[ri a(— i)/-m1 /-

680 LIVRE m. — LES GRANDEURS ALGÉRRIQUBS.

on obtient Téquation du quatrième degré, dont les racines sont les quatre périodes, en élevant les deux membres au carré; d'où

(36) [V-- + jê \-"b-^ 8 J =°-

Cherchons le coefficient de la première puissance de t„ qui doit être un nombre entier; on trouve

y est pair lorsque ri-zi (mod 8); impair quand /iz 5(mod8);

donc on aura

i-h/i — 2n( — i)/r=o (mod 8).

Mais alors, d'après (3^), le nombre a{ — i)-^-!- i devra être divisible par 4 ; il fsiul donc

(38) a.-^{-iy (mod 4);

Téquation (34) permet alors d'en conclure que b est un nombre pair; donc

(39) 6 = 0 (mod 2).

L'équation du quatrième degré prend une forme plus simple en posant

(40) 4Ti-r-i = ;; d'après (36), elle prend la forme

(40 îï»-4-«[i-2(-i)/]j«-4/i[ÇH-(-i)/a]« = o;

en séparant les deux cas où n zz= 1 ou n^ 5 (mod 8), on trouve ainsi les deux équations

Mentionnons enfin le théorème suivant, qui résulte de (34)*

Tout nombre premier de la forme 4/-I-1 peut se mettre sous la forme d^ une somme de deux carrés.