CHAPITRE XVI. — DIVISIOX DU CERCLE EN PARTIES ÉGALES

§ 181. — Les nombres complexes de Gauss.

La proposition démontrée en dernier Heu sert de base à la théorie du corps de nombres qui se déduit de celui des nombres

rationnels par l'adjonction de l'unité imaginaire /= y/ — i ; nous le désignerons, d'après nos conventions par R(/) (*).

Nous aurons à distinguer les nombres premiers de la forme 4/-f- 1 de ceux de la forme 4/+ 3; pour abréger, nous désignerons les premiers par p et nous y comprendrons le nombre 2; les seconds par q\ ainsi

Nous aurons alors les théorèmes suivants :

1. A chaque nombre p correspondent deux entiers a et &, tels qui! on ait

Cette proposition n'est autre que celle démontrée à la fin du paragraphe précédent; elle est évidente pour le nombre 2, puisque

A ce théorème correspond le suivant :

2. Un nombre premier q ne peut jamais se mettre sous la forme a^-\-b^.

Ou bien encore la proposition plus générale :

3. La somme des carrés de deux nombres entiers a et h n^ est divisible par un des nombres premiers gr, que si a et h sont divisibles par q.

En effet, si a^ H- b^ est impair, l'un des deux nombres a ei b rst pair et, par suite, son carré est divisible par 4; l'autre est impair et, par suite, son carré est congru à i(mod4); donc a^ -h 6*^^ 1 (mod4).

(*) Gauss, Theoria residuorum biquadraticorum, commentatio secundo {Œuvres, t. II).

Le théorème 3, qui contient le second, se démontre de la manière suivante :

Supposons a- -h b^ divisible par gr et 6 non divisible par q ; déterminons un entier V par la congruence

bb'=i (mod^); par hypothèse, on a

a* -+- ô* s o ( mod q ) ; on en conclut

( ab' )* = — I ( mod q ).

Celle congruence est impossible; car, d'après le théorème 4 du § 145, le no.mbre — i est un non-résidu quadratique pour tout nombre premier q.

Le corps R(r) est l'ensemble de tous les nombres de la forme X -hyi, X ely étant des nombres rationnels, entiers ou fractionnaires.

Les nombres a -+- bi dans lesquels a et b sont des nombres entiers s'appellent les nombres entiers du, corps R(ï)'

Le produit de deux nombres conjugués

l^x-^yi, \'=^x—yi est égal à

et s'appelle la norme de Ç; on le désigne par N(Ç). La norme d'un nombre \ différent de zéro est un nombre positif et rationnel; la norme d'un nombre entier est elle-même un nombre entier. La norme d'un produit ou d'un quotient est égale au produit ou au quotient des normes des nombres considérés.

Tout nombre entier, dont la norme est égale à i, s^ appelle

une unité,

a et b étant entiers, a^-h b^ ne peut être égal à i que dans les hypothèses

a = ±i, 6 = 0, ou a = o, 6=dbi. Le corps R(/) ne renferme donc que les quatre unités

L'inverse d'une unité est encore une unité.