CBAPITRE XYI. — DIVISION DU CERCLE EN PARTIES ÉGALES

Deux nombres, dont l'un se déduit de l'autre en le multipliant par une unité, sont dits associés.

Tout nombre complexe appartient à un système de quatre nombres associée

a -\- biy — a — bi, — b -\- ai^ b — ai,

La somme^la différence, le produit de deux entiers sont euxmêmes entiers.

Un entier a est divisible par un autre entier |3 lorsquHl existe un troisième entier y, tel que a= py.

a étant divisible par p, N (a) est divisible par N(P). En effet, l'égalité a = Py entraîne N(a) = N (p) N(y).

a, p, Y étant des entiers du corps H(e), et a étant supposé divisible par y? ^^ est divisible par y^I si a et ^ sont divisibles par Y» il en est de même de a ± p.

Tout entier est divisible par chacune des unités. Les unités ne sont divisibles que par l'une d'entre elles; si en effet a^ est une unité, on a N(a)N(p) = i ; donc N(a) et N(p) sont aussi égales à I ; aet ^ sont donc des unités.

Des nombres associés sont divisibles l'un par l'autre; réciproquement, si a est divisible par b et b par a, les nombres a et b

sont associés. Si en effet les deux quotients 0 et ~ sont tous deux

entiers, le produit de ces deux nombres est égal à i ; ce sont donc deux unités.

La décomposition des nombres du corps R(0 ^^ facteurs premiers se fait suivant les mêmes lois que celle des nombres entiers réels.

Tout entier du corps R {i), qui nest pas une unité, est dit composé, lorsqu^on peut le mettre sous forme d'un produit de plusieurs facteurs, dont aucun n'est égal à une unité.

Tout entier, qui ne peut être décomposé de cette manière est dit un nombre premier du corps R(0-

Soit Ç = X -f- J^«' un nombre fractionnaire du corps R(')5 ^^ peut déterminer un entier [jl = m 4- /i« tel que la norme de la différence Ç — (ji, c'est-à-dire {x — m)^ "^{y — t^Y soit inférieure

684 LIVRE III. — LKS GBANDEUBS ALGÉBRIQUES.

OU au plus égale à ^ ; il suffit pour cela de choisir les entiers m et n de manière que les valeurs absolues de j: — m et^ — «ne soient pas supérieures à ^; leurs carrés seront inférieurs ou au plus égaux, à |.

a et a, étant deux entiers du corps R(/) et ai différent de zéro, on pourra donc déterminer les entiers jx et aa de telle sorte que

a a» N(aj) ^ i

donc

Si ai n'est pas nul, on pourra opérer de même sur a, et a^, ce

qui donne

«I = ]^\ «î-^-Xa, N(a3)< N(û[,);

en continuant ainsi, on détermine une suite de nombres entiers a, a,, a2, aj, . . . dont les normes vont toujours en décroissant; l'opération ne s'arrête que lorsqu'un des nombres devient nul. Ces normes étant des nombres rationnels et positifs décroissants, on rencontrera au bout d'un nombre fini d'opérations une norme égale à zéro; on aura alors le sjslème d'équations

' a ^ fx ai ~ otj, I ai = ,ui aj — aj,

œa-i = tJL/,ia/,.

On en conclut que les entiers a, a, ^ as. . . . , et en particulier a et a, , sont divisibles par a>i, et que réciproquement tout diviseur commun à a et ai est un diviseur de tous les a successifs, par suite aussi de a^. Tout autre entier, possédant ces deux propriétés, est nécessairement associé à a>i. Ce nombre a>i (ainsi que chacun de ses nombres associés) est dit le plus grand commun diviseur de a et ai .

Eliminons entre les équations (i) les nombres aj, aj, ..., a^^,, en tirant a2 de la première et portant dans la seconde, aj de la seconde et portant dans la troisième, etc.; nous aurons finalement une équation de la forme