CHAPITRE XYI. — DIVISION DU CERCLE EN PARTIES ÉGALES

en écrivant a, p, 5 au lieu de a, ai, ay^, nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :

-i. oi et p étant deux entiers quelconques du corps R (/), 3 leur plus grand commun diviseur, on peut déterminer les entiers X et \de façon qui! on ait

(a) ax-h pX = 8.

Lorsque le plus grand commun diviseur des deux entiers a et ^ est une unité, on dit que ces deux nombres sont premiers entre eux; on peut dans ce cas trouver des entiers x et X, satisfaisant à l'égalité

(3) ax-h3X = i.

Si p est un nombre premier, ou bien a est divisible par p, ou a et ^ sont premiers entre eux. Dans ce dernier cas on peut satisfaire à l'équation (3). Soit alors y un autre nombre'de R(«); l'équation (3) donne

«Yx -h PyX = Y*

Si donc ay est divisible par ^, il en est de même de y; d'où la proposition fondamentale suivante :

5. Pour que le produit de deux ou plusieurs entiers de R {i) soit divisible par un nombre premier de R(/), il faut et il suffit que Vun au moins de ses facteurs soit divisible par ce nombre premier.

Remarquons encore qu'un nombre premier ne peut être divisible pai^ un autre, que si leur quotient est une unité; ces deux nombres sont alors associés ; en ne considérant pas comme distincts deux nombres associés, on peut donc énoncer la propriété suivante :

6. Un nombre entier du corps R(/) peut toujours être décomposé en facteurs premiers et cela d'une seule manière.

Soit, en effet, a un entier de R (0- Si a n'est pas premier, on peut le décomposer en un produit de deux facteurs; soit donca = Y3; les normes dey et de p seront inférieures à la norme de a. Si ^ n'est pas premier, on pourra décomposer ce nombre en un produit

de deux facteurs, 8 et e par exemple; les normes des facteurs successifs sont des entiers positifs qui vont en décroissant; on rencontrera donc nécessairement un facteur premier. Donc^ tout nombre a admet au moins un diviseur premier.

Soit Tz ce diviseur; on aura a = iza!. La proposition s^appliquant aussi à a', on aura a'= -n'a''. . . . Les normes de a, a', a" allant en décroissant, on finira par en trouver une, égale à l'unité. Le nombre a est donc décomposable en un nombre limité de facteurs premiers, le dernier facteur, égal à i, pouvant être réuni avec un des nombres premiers tz.

Si Ton pouvait trouver d'une autre manière.

oc = X X X • > • ;

les nombres x étant aussi premiers, l'égalité

XX X , . . = TZTZ TT . . ,

montrerait (th. 5) que l'un des facteurs du second membre, ^rpar exemple, est divisible par x, et par suite ne diffère pas essentiellement de lui. Divisant les deux membres par x = t:, on pourra répéter le même raisonnement sur x'; on arrive à prouver ainsi que les deux décompositions sont identiques, abstraction faite de certains facteurs unité.

II nous reste à trouver effectivement les nombres premiers du corps R(r).

Tout nombre premier est diviseur d'une infinité de nombres rationnels et entiers, par exemple de la norme et de tous ses multiples. Parmi les nombres rationnels, entiers et positifs, divisibles par un nombre premier Tw, il y en aura un, n par exemple, plus petit que tous les autres; ce nombre n sera nécessairement un nombre premier du corps R. Si, en effet, on pouvait le décomposer en facteurs du corps R, il résulterait du théorème 5 que l'un de ses facteurs, donc un nombre plus petit que /?, serait divisible par Tz.

Inversement tout nombre /i, réel et premier, est divisible par un nombre premier tz au moins.

Soit donc ai c= 7:a; il en résulte