CHAPITRE I. — FONCTIONS RATIONNELLES. 8l

des Xi et de t^ on pourra alors poser

Multiplions les deux membres de la seconde équation par X, remplaçons X^(^) par sa valeur tirée de la première ; il vient

La fonction X divise donc exactement le diviseur de ^{t)f[t) aussi bien que celui de ©(/)F(^); comme /(^) et F(^) sont des fonctions premières entre elles, il en est de même de leurs diviseurs^ X doit donc diviser le diviseur de <p(^) (th. IV). Si Ton

pose

9(0 = Xç,(0, l'identité (5) donne

^(^)est donc divisible par/(^); d'où :

VU. Soient F{t) et/{t) des fonctions premières entre elles; si ^{t)¥{t) est divisible par f{t)^ cette fonction est diviseur de ^{t).

Mais ceci n'est pas autre chose que le théorème I pour le cas de (n -h i) variables; cette proposition est donc démontrée dans toute sa généralité. Les conséquences déduites de ce théorème I le sont donc aussi ; en particulier, une fonction d'un nombre quelconque de variables n ne peut être décomposée que d'une seule manière en produit de facteurs irréductibles, abstraction faite de certains facteurs constants.

8a LITRE I. — LES PRINCIPES.