CHAPITRE XTI. — DIVISION DU CERCLE EN PARTIES ÉGALES

Comme n est un nombre premier, et N (ir) et N (a) des nombres entiers, il peut se présenter deux cas :

!• N(Tr) = /i, N(a) = //;

•i*» N(ir) = nî, N(a)-^i.

Soit, dans le premier cas, t! le nombre conjugué de a -f- W = 'J^;

on aura

n = ttt:' = a* -h 6*,

a = II' ;

ce cas ne peut donc se présenter que lorsque n est un nombre premier qu'on puisse décomposer en une somme de deux carrés. Réciproquement, tout nombre premier/? de cette espèce peut être décomposé en deux facteurs tz et tc', dont aucun n'est égal à une unité.

Les nombres premiers p ne sont donc pas premiers dans le corps R(/).

Dans le second cas, qui est donc celui des nombres premiers 9, a est une unité; n et ic sont donc associés; donc :

Les nombres premiers q sont aussi premiers dans le corps

Le nombre premier 2 appartient, comme nous l'avons remarqué, à la première classe, et l'on a

Il joue pourtant un rôle particulier, par suite de l'égalité

Le nombre premier réel 2 est donc dans le corps R(«) le carré d'un nombre premier, abstraction faite du facteur — i. On voit aisément que ce fait ne se présente pour aucun autre nombre premier/?.

L'ensemble des nombres premiers dli corps R(/) est donc constitué par les nombres premiers q et les facteurs des nombres premiers/?. Si/? est décomposé en une somme de deux carrés

688 LIVRE m. — LES GRANDEURS ALGÉBRIQUES.

«*-j- 6^, on conDaît les deux facteurs a -f- bi ei a — bi. Il faut y joindre aussi les nombres associés. Il résulte d'ailleurs du théorème 5 que p ne peut êlre décomposé en une somme de deux, carrés que d'une seule manière. Pourtant cette décomposition ne détermine pas entièrement les nombres a et 6; on peut encore les échanger et leur donner deux signes différents. Cela revient à prendre pour tt l'un quelconque des quatre nombres associés,

n -h biy — a — bi^ — b -h ai, b — ai.

Si p est impair, les nombres a et 6 sont de parité différente. Soit b le nombre pair; choisissons le signe de façon qu'on ait

a ^ I (mod 4);

le choix de l'un des quatre nombres associés est alors déterminé; le nombre choisi sera dit primaire (* ).

Cette définition des nombres primaires s'applique à tous les entiers du corps R (f), dont la norme est un nombre impair; il en résulte que le produit de deux nombres primaires donne encore un nombre primaire.

Le système des quatre nombres associés du corps R(/) est analogue au système des deux nombres opposés dans le corps K. Dans ce dernier, les nombres positifs sont considérés comme primaires.

La formule (27) du paragraphe précédent fait connaître, pour un nombre premier /? donné, Tun des facteurs a-hbi. D'après les formules (3S), (39) du § 180, ce nombre est primaire, lorsque

p = 5 (mod 8);

c'est le nombre opposé au nombre primaire, lorsque

p = I (mod 8).

Nous ne possédons aucun critérium général, pour reconnaître celui des deux nombres conjugués a dr bi représenté par ces formules.

(') A l'endroit cité, Gâuss laisse le choix entre deux nombres primaires différents; plus loin, il ne conserve que le second.