CHAPITRE XVII. — RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DBS ÉQUATIONS. 7o

Si en eflçt cp(:r) se décomposait en deux facteurs rationnels, ces facteurs auraient des coefficients entiers (§ 2). Soit donc

h et k étant plus grands que zéro et ayant pour somme n.

Puisque C^ est égal à a^P^., un seul des facteurs est divisible par/7, soit ^a. Tous les coefficients ^ ne peuvent être divisibles par p, sans quoi il en serait de même de Col supposons jSy non divisible par/?, mais pv+ij Pv+2j •••!?* divisibles par/>. Le coefficient de :r*~'^dans le produit des deux facteurs est

*/i Pv -+- 3t/, 1 Pv-l-1 H- ... ;

il n'est donc pas divisible par/?. Il faudrait donc

ce qui est impossible, puisque k est plus petit que n. Si donc on prend comme coefficients de/(x)

C| Cl C/j

«1 — 7=,- > «î = TT" > • • • > ^n= -f^-'

la fonction /'(o:) est irréductible; il y a encore assez d'arbitraire dans le choix des nombres C, pour que les fractions commensurables ûTi , «2î ..•,«« soient aussi voisines de telles valeurs que l'on voudra.

Nous avons ainsi démontré cette proposition :

4. A chaque degré premier correspondent une injiniié d^ équations à coefficients rationnels sans affect.

La démonstration que nous venons de donner montre qu'on peut déterminer ces équations sans affect, de manière que leurs coefficients remplissent avec une densité parfaite un domaine fini, savoir celui où se trouvent les coefficients des équations qui n'admettent que deux racines imaginaires conjuguées. Donc, notre démonstration, même en faisant abstraction de ce qu'elle ne s'applique qu'aux équations de degré premier, n'épuise pas la question, puisqu'elle ne nous donne aucune indication sur les autres domaines, dans lesquelles, selon toute probabilité, les choses se passent d'une façon analogue.

§ 187. — Résolution par radicaux réels.

Dans la résolution des équations du troisième degré à coefficients réels, on a distingué de tout temps deux cas, suivant que le discriminant est positif ou négatif. Dans le second cas, malgré la réalité de toutes les racines de Téquation, Temploi de la formule de Cardan conduit à l'extraction de la racine cubique d'une quantité imaginaire; tout essai pour mettre les racines sous forme réelle conduit à une équation du troisième degré de même nature que la proposée. C'est pourquoi le cas a été appelé le cas irréductible. Les équations du troisième degré, qui correspondent à ce cas, sont elles-mêmes un cas particulier des équations cycliques à racines réelles, que nous avons déjà rencontrées au § 172. Leur résolution exige l'extraction de racines de quantités imaginaires ou, ce qui revient au même, la division d'un angle en parties égales. Nous allons maintenant démontrer qu'on ne peut échapper d'aucune manière à ces extractions de racines ou à ces divisions en parties égales (*).

Soient û un domaine de rationalité réel, g{t) = o une équation normale en û, c'est-à-dire une équation irréductible, dont toutes les racines peuvent être exprimées rationnellement en fonction de l'une quelconque d'entre elles, p par exemple. Lorsqu'une des racines est réelle, il en est de même de toutes les autres ; g(^t)=z o n'a donc que des racines réelles, ou des racines imaginaires conjuguées deux à deux. L'équation g(t) =z o peut être la résolvante de Galois d'une équation donnée F(j:) = o, irréductible ou non ; si g{t) a toutes ses racines réelles, il en sera de même de F(^) ; car les racines de F{x) sont fonctions rationnelles d'une racine quelconque de g{t). Si F{x) admet des racines imaginaires, g{t) ne peut avoir que des racines imaginaires. Si, au contraire, F(jr) a toutes ses racines réelles, il en est de même de celles de g{t)', puisqu'elles peuvent s'exprimer rationnellement en fonction de celles de F(a:).

Supposons maintenant que l'équation g(t) = o devienne réduc-

(') Voyez HôLDER, Math. Annalen, t. XXWIII; Kneskr, Math. Ann,y t. XLl.