CHAPITRE XYII. — RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS

lible par Tadjonction d'une racine e d'une équation irréduclible y^ = o, de degré premier; toutes les racines de y, ainsi que nous Pavons vu au § 164, seront contenues dans le corps û(p); comme p est réel, elles seront donc toutes réelles.

1. Une équation normale à racines réelles ne peut être réduite qu^à Vaide d^une équation irréductible^ de degré premier, ayant toutes ses racines réelles.

Demandons-nous maintenant si l'adjonction d'un radical réel y/a peut amener une réduction de l'équation normale. Il est permis de supposer que l'indice/? du radical est un nombre premier; car tout radical peut être calculé comme une suite de radicaux d'indice premier; de plus, on peut admettre que a n'est pas la puissance ^^«™*' d'un nombre rationnel, sans quoi y/a serait rationnel.

Ces hypothèses faites, xP — a est irréductible. Soit en elTet a la valeur réelle de y/a, et e une racine /?**"** imaginaire de l'unité; les quantités

(i) a, Ett, e*a, ..., e/^-'a

sont toutes racines de l'équation

( 2 ) xP — a = O.

Si cette équation était réductible, on aurait

(3) xP-a=^f,{x)Mx),

/i et/a étant des fonctions en û de degré inférieur à p. Une parlie des racines (i) appartiendra à/i, l'autre à /j. Si donc [jl désigne le degré de/ et \ un exposant quelconque, la quantité

devra être un élément de û [le terme indépendant de x dans / {x)\\ élevons les deux membres à la puissance /?, on aura

(4) bP=aV:

Mais, par hypothèse, [jl est inférieur k p et, par conséquent, premier avec /?; on peut donc déterminer deux entiers h et A*, tels

que

\i.h -\-pk = I.

706 LITRE III. — LES GRANDEURS ALGteRIQUES.

Il résulte alors de (4) que

résultat contraire à Phypotbèse faite que a n'est pas la puissance ^ième j'^n élément de û.

Ainsi qu'on le voit, notre théorème ne suppose pas que Q soil un corps réel. Faisons maintenant cette hypothèse; si p n'est pas égal à 2, l'équation (2) a des racines imaginaires; d'après le théorème 1^ elle ne peut donc produire la réduction d'une équation normale ^(/) = o. Lorsque/? est égala 2, g(t) ne peut être réduit à l'aide de l'équation (2) que si a est positif, et le degré de g{t) un nombre /?afr (§ 164); d'où :

2. Une équation normale de degré impair ne peut devenir réductible par l'adjonction d'un radical réel.

Considérons le cas d'une équation du troisième degré à coefGcients réels et à discriminant positif; faisons l'adjonction de la racine carrée de ce discriminant; l'équation devient normale, le domaine de rationalité restant réel; il reste d^ailleurs réel, en faisant l'adjonction d'un nombre quelconque de radicaux réels. Pour que l'équation puisse être résolue par radicaux réels, elle doit devenir réductible, ce qui est impossible, d'après le théorème 2. On se trouve donc dans le cas irréductible.

La même circonstance se présente pour les équations cycliques et, en général, pour les équations abéliennes irréductibles; elles ne peuvent jamais être résolues par radicaux réels.

D'après cela, on peut distinguer les équations du troisième degré, à coefficients rationnels, en trois ou quatre espèces, qui se présentent dans divers problèmes de Géométrie, célèbres depuis l'antiquité. Nous laisserons de côté les équations réductibles. Le degré du groupe de Galois sera toujours divisible par 3 (§ 169) ; il est donc égal à 3 ou à 6. Par conséquent (§ 164), si Ton n'adjoint que des racines carrées, le degré du groupe ne pourra descendre au-dessous de 3; l'équation ne peut être résolue par radicaux carrés. Les problèmes de Géométrie correspondants ne peuvent être résolus avec la règle et le compas.

Lorsque le degré du groupe est égal à 3, l'équation est cyclique. C'est le cas des équations dont dépend la division du cercle en