CHAPITRE Xm. — RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS. 7O

parties égales, par exemple la construclion- du polygone régulier de dix-sept côtés. Les trois racines de cette équation sont réelles et ne peuvent être représentées à l'aide de radicaux réels.

Parmi les équations cubiques, dont le groupe est du sixième degré, il faut distinguer celles à discriminant positif et celles à discriminant négatif. Les premières donnent lieu au cas irréductible; on peut les ramener à l'équation qui sert à la trisection d'un angle quelconque. Les dernières renferment comme cas particulier les équations binômes telles que x' = a, le nombre a n'étant pas un cube parfait. Pour a=z 2, c'est l'équation du problème de Délos ou de la duplication du cube.

§ 188. — Équations métacycliques de degré premier.

Les conditions générales établies au § 184 ne sont pas encore assez simples pour permettre de décider immédiatement si une équation donnée est métacyclique, c'est-à-dire résoluble par radicaux. En supposant que le degré n de l'équation est un nombre premier, nous établirons un autre critérium dû à Galois.

"Soienty*(a:) = o une équation irréductible de degré n et n un nombre premier plus grand que 2. Pour qu'elle puisse être résolue algébriquement, il faut (§ 184) que son groupe P soit métacyclique; il doit donc exister une chaîne de groupes

(i) P, Pi, ..., ïV-i, I,

telle que chaque terme soit un diviseur normal à indice premier du précédent. Le groupe P se réduit successivement à P,, . . ., P{x.-ij I par l'adjonction des racines de certaines équations cycliques.

Nous avons montré au § 184, que la fonction /{x) ne peut devenir réductible avant que la dernière adjonction ait été faite ; elle se décompose alors en n facteurs linéaires. Donc le degré de la dernière équation cyclique, et par conséquent le degré de l'avantdernier groupe P|j^, est égal à /i (§ 165, 3).

Le degré d'un élément d'un groupe est toujours égal à celui du groupe; donc P[jl i ne contient, outre la permutation identique,

que des permulations dWdre n. Ce groupe est donc idenlique à la période i, -n, ir*, . . . , ir""* d'un de ses éléments. Il en résulte (§ 160) que ir est une permutation cyclique des n indices ; on pourra d^ailleurs choisir les notations de telle façon qu'on ait

Soit ar, une des racines; convenons que Xg et x,- seront égales,

lorsque

5 = y (modn);

la permutation tz change z en z -j- i ] tz- change :; en -3 -j- 2, etc.; on peut donc dire que le groupe Pp..^ est composé des substitutions

effectuées sur :;.

Toute équation mélacy clique de degré premier et irréductible peut donc être transformée par adjonction de radicaux en une équation cyclique.

Les substitutions (z, z -{- b) sont un cas particulier de la substitution linéaire générale

(3) (z.az^b);

a et b sont des nombres donnés, qu'on peut remplacer par leurs restes par rapport au module n ; la valeur zéro est naturellement exclue pour le nombre a, sans quoi la substitution (3) transformerait tous les indices z en un même nombre 6; il n'y aurait donc plus de permutation des racines.

Si donc a n'est pas congru à zéro par rapport au module /i, la substitution (3) représente toujours une permutation, car on ne

pourra avoir

az-^b^az'-hù

que si Ton a

Nous dirons que la substitution (3) ne produit pas la permutation des racines. Le nombre des diOerentes substitutions linéaires» de la forme (3) est ni^n — 1). 11 leur correspond autant de permutations distinctes des racines x ; en effet, pour une valeur donnée