CHAPITRE XTII. — RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS
de z on ne pourra avoir
az -'^ b ^a'z -h b' Tmod/i),
que si Ton a
b^b'f a^a' (modn);
îl suffit, pour le voir, de prendre 5 = o et 5 = i .
L'ensemble des permutations représentées par les substitutions (3) forme un groupe. Soient, en effet,
X ^iz.az-h b), V = (z, a'z -4-6')
deux de ces permutations; on aura
OU bien
(4) W = V = (Zy aa' z -h a'b -h b'),
substitution qui est encore de la forme
Nous appellerons groupe linéaire le groupe formé par les subslitulions (3); ce groupe n'est qu'une généralisation du groupe cyclique (* ) ; les permutations qu'il contient seront dites linéaires.
Le groupe linéaire admet différents diviseurs; parmi eux se trouve un groupe de degré (n — i), le groupe (z. az)^ qui pei^l lui-même admettre d'autres diviseurs.
La règle de composition (4) montre comment on peut former tous les diviseurs d'un groupe linéaire. Soit X =(::, az -{- b) une substitution linéaire^ en répétant h fois cette substitution, on trouve, d'après (4),
dans le cas de a = i,
Si donc un groupe L contient une substitution X, dans laquelle a
( ' ) C'est le groupe métacyclique de M. Kronecker.
est égal à I et 6 égal à zéro, ce groupe L contient tout le groupe
cjcHque
Si a n^est pas égal à i, on sait que
En désignant par e le plus petit exposant positif, pour lequel
on a
a'^ ~ i (modn),
on en conclut que X est du degré e.
Si a est différent de i, la période de la substitution X donne un groupe inIran si lif de permutations. 11 existe un indice s qui ue change pas quand on fait et répète la substitution X ; on le détermine par la congruence
z ^ az -h b (modn);
on peut le désigner par
(modn),
en convenant que - ou jjL:v(mod/i) désigne un nombre entier
qui, après multiplication par v, devient congru à [Ji suivant le module n.
Le groupe cyclique (^, z -^ b) est transitif et du degré n. Démontrons d'abord la proposition suivante :
I. Tout groupe transitif linéaire (suivant le module n) contient le groupe cyclique.
Soit g une racine primitive de n et a Tindice de a; on pourra
écrire
g'^^-a (mod/i) (§ l43).
Pour abréger, nous appellerons, pour le moment, a V indice de la substitution X= (5, a^ -|- 6). L'indice peut être supposé plus petit que n — i, supérieur ou égal à zéro. S'il est nul, \ se confond avec la substitution identique, ou bien appartient au groupe cyclique. La formule (4) montre que l'indice d'une substitution composée est égal à la somme des indices des composantes*
