CHAPITRE IL

DÉTERMINANTS

§ 21. — Permutations de n éléments*

Considérons un système de n éléments différents, d'espèce quelconque, par exemple les n nombres entiers i, 2, 3, . . ., n, dont nous désignerons l'ensemble par A. Les éléments de A peuvent se ranger de différentes manières, par exemple dans Tordre 2, 3, 1, . . . , /i. Passer d'un ordre à un autre, c'est faire une permutation.

Désignons par n(/2) le nombre de ces permutations qui, évidemment, ne dépend que de /i; on voit immédiatement que n(i)= i; 11(2) = 2; pour déterminer n(/i), imaginons qu'à n — i éléments donnés, on en adjoigne un /z'**"*°. Dans chacune des permutations des n — I premiers éléments, on peut donner au n»ème élément n places différentes , savoir : avant le premier, entre le premier et le second, et ainsi de suite; enfin, après le ji — ,ièinej toutcs Ics pcmiutations ainsi formées sont évidemment différentes. On conclut de là que

(I) n(n)=-/in(/i — £),

d'où, à l'aide du procédé d'induction, la formule

Le signe n(n) a donc la même signification que celle que nous lui avons donnée dans le Chapitre I, au § 7.

Soit A' une permutation quelconque des éléments du s^^stème A;