CHAPITRE XVII. — RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DBS ÉQUATIONS. 71I

Tous les indices des substitutions d*un groupe linéaire L sont donc des multiples du plus petit d'entre eux; soit ao le plus petit indice positif; posons g^»= Oq] toutes les substitutions L seront de la forme

aQ est un nombre fixe; A et 6 prennent une certaine suite de valeurs numériques. Toute substitution de la forme

Xo = {Z, UqZ -+- Bq)

figure nécessairement dans le groupe L.

Si donc le groupe L renferme une substitution dans laquelle la valeur zéro, attribuée à A, correspond à une valeur différente de zéro, attribuée à 6, cette substitution \ appartient au groupe cjclique; le groupe L contient donc tout le groupe cyclique.

Si h est différent de zéro, nous formerons, d'après (4) et (5), la substitution composée

XXô'^= (z,z-^a-^^b-^''~^''b\.

Cette substitution ne devient identique que si Ton a

a^—i aj —

(mod/i).

Supposons que cette congruence soit vérifiée pour toutes les valeurs de h différentes de zéro, et qu'à l'indice A = o ne corresponde que la substitution identique; l'élément -^ ne change

pas quelle que soit la permutation du groupe; L est un groupe intransitif. Par conséquent, si le groupe L est transitif, il contient toujours un élément \ tel que XX~^ ne soit pas la substitution identique, quoique l'indice soit nul; L contient donc tout le groupe cyclique.

Prenons les difi*érentes puissances de \o\ îl ^^ résulte que l'exposant h peut prendre toutes les valeurs possibles dans les substitutions X du groupe L. Soit e le plus petit exposant positif vérifiant la condition

a% = i (raod/i);

c est un diviseur de n — i, et /* pourra prendre les valeurs o, i, 2, • . . , e — 1 . En formant la substitution composée

qui figure nécessairement (théor. I) dans un groupe transitif L, on voit de plus que, avec chaque valeur de A, on trouve aussi les valeurs o, i, 2, . . . , n — i pour 6; le groupe L se compose donc des substitutions /A\ \—i^J^^^h\ A = o, 1,2, ...,« — I ;

ce groupe est donc du degré en.

Réciproquement, tout ensemble de substitutions de cette forme constitue un groupe.

Les groupes linéaires donnent lieu au théorème suivant :

IL Un groupe transitif linéaire L étant diviseur normal d*un autre groupe de permutations P des mêmes indices, le groupe P est aussi linéaire.

Soit, en effet, ti une permutation quelconque

^__ /o, i,2,...,n — 1\ \ao, ai, . . ., an-\) '

qu'on peut représenter par (:;, a^); on peut déterminer une fonction o{z) entière, à coefficients réels, de degré au plus égal à n — I , telle que

Il suffit de déterminer les n coefficients de o{z) par les équations «o=?(o), ai— o(ï), ..., afl| = o(/i — I).

On peut employer, à cet effet, la formule d'interpolation de Lagrange (§ 15); on peut, d'ailleurs, lui donner une forme plus simple, puisqu'il ne s'agit que de congruences par rapport au nombre n. Posons, en effet,

^{z) = z{z — \) ... (;; — /i -4-1); la formule d'interpolation donne