CHAPITRB XVII. — RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS

Nous avons vu (§ 143) que la congruence

^(-z) = z» — z (mod/i)

est identique; on a donc

^'{z)~nz^-^ — 1= — i (modn);

f (z) peut donc se mettre sous la forme suivante, où tous les coefficients sont entiers :

Les nombres a©» ^i? • • • i ^/î-* sont, dans un certain ordre, identiques aux nombres o, i, 2, . • . , /2 — i ; si donc /i > 2, on a

«0-+- «i-^-« . •-*- «»-i = o (mod/i);

<f{z) est donc au plus de degré n — 2; ce fait est d'ailleurs sans importance pour notre démonstration.

Toute permutation tc peut donc se mettre sous la forme d'une substitution [^, 7(^)]- Soient maintenant L un groupe transitif linéaire, diviseur normal d'un autre groupe P, X une permutation quelconque de L, 7t une permutation quelconque de P. La permutation V= -n'^Ait est contenue dans L et Xtt est égal à tzV.

D'après ce qui vient d'êlre démontré, on peut poser

Tz = [z,9{s)\;

prenons pour X la substitution cyclique (z,z-\-i) qui figure dans le groupe transitif L; on devra pouvoir déterminer les entiers a et a' de manière que l'on ait

(^, z-4-i)[s, ©(;5)] — [z,^(z)]{z,a'Z'ha);

OU bien, après avoir effectué la composition,

(7) o(z -hi)= a'<p(5) H- a (niod/i),

Z étant un entier quelconque.

cp(3) étant de degré inférieure n, les coefficients des mêmes puissances dez, dans les deux membres de la formule (7), doivent être congrus par rapport au module n ; en comparant les coeffi-

7l4 LITRE III. — LES GRANDEURS ALGÉERIQCES.

cienls des termes du plus haut degré, il vient

«' = 1 (modn), et, par suite,

Remplaçons z successivement par ^ + 1,^4-2, ...,5-4- A — i,

on trouve

0(5 4- A) = cp(-s)-+- «A (modn),

h étant congru avec un entier quelconque par rapport au module n. Faisons z = 0, remettons z au lieu de A, posons f (o) = 6, il vient

(8) <^{z) = az -\- b.

Le groupe P ne se compose donc que de permutations linéaires, ce qui démontre notre théorème.

Ajoutons la remarque suivante : La simple inspection des formules montre que le groupe cyclique (5, ^ -+- 6) est un diviseur normal de tout groupe linéaire, dans lequel il est contenu.

En appliquant le théorème ainsi démontré au groupe de l'équation métacyclique, on trouve le théorème de Galois :

m. Le groupe d^une équation métacy clique irréductible, de degré premier, est linéaire.

Considérons, en effet, la chaîne (i) des groupes successifs; nous avons vu que P|jt i est le groupe cyclique; si P|ju i n'est pas identique à P, c'est un diviseur normal de P|jl 2Î donc P|a.2 est linéaire. P|t«2 étant diviseur normal de Pj^-s? ce dernier est aussi linéaire, etc. ; donc P lui-même est linéaire. On voit en même temps que Pjjt-i est diviseur normal de tous les groupes précédents, par suite du groupe P lui-même.

Réciproquement :

IV. Toute équation irréductible de degré premier, dont le groupe est linéaire, est métacyclique.

Pour démontrer ce théorème, il suffît de prouver que tout groupe transitif linéaire L admet un diviseur normal \J d'indice premier, et que ce diviseur L' est lui-même linéaire, s'il n'est pas identique au groupe unité.

CHAPI^TRE XVn. — RÊaOLCTION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS. 7l5

C'est ce que montre immédiatement la forme (6) des substitulions du groupe L.

Si e est égal à i, L n'est autre que le groupe cyclique de degré n, avec le diviseur normal i. Si e est plus grand que i, soil/7 un diviseur premier de /i ; on a e =pe^» Le groupe linéaire U, de degré ne', formé par les substitutions

est certainement un diviseur d'indice p de L. Ce diviseur est d'ailleurs normal; cela résulte aisément de la règle de composition (4).

Le concept de groupe transitif linéaire coïncide donc absolument avec celui de groupe métacjclique, dans le cas des équations irréductibles de degré premier; nous considérerons dans la suite ces deux expressions comme synonymes.

Lorsqu'on veut passer d'un groupe P à un groupe conjugué P'= 7t""* Ptt, ce passage se fait en efTectuanl la permutation t: dans les cycles des éléments de P. P' sera donc identique à P, à la notation des racines près; ce sera donc aussi un groupe linéaire, quoiqu'il faille changer les indices des racines, pour représenter les éléments de ce groupe par des substitutions linéaires.

Pour simplifier les applications, remarquons qu'on peut former le groupe linéaire complet par la répétition et la composition des deux substitutions

(9) s^(z,z^\), t=-[z,gz\\

de même, on peut former tout diviseur transitif L du groupe linéaire complet par les substitutions

(10) 5 = (;;, -;-hi), /«• — (;;, ao5).

Les deux substitutions (9) ou (10) s'appellent les substitutions génératrices de ces groupes.

Posons aQ = g^\ on obtient un groupe linéaire («, a>3-f-6), qui se rencontre fréquemment dans les applications; a ne prend que les valeurs des restes quadratiques de /i; c'est le groupe semi-métacy clique de M. Kronecker.

Cette représentation d'un groupe par les substitutions généra-

7l6 LITRE III. — LES GRANDEURS ALGÉBRIQUES.

triées fournit une proposition simple sur les relations des groupes métacycliques avec le groupe symétrique et le groupe alternant. La permutation produite par la substitution s se compose d'un seul cycle (o, i, 2, ..., n — 1) avec un nombre impair de termes ; elle appartient donc au groupe alternant. La substitution t laisse l'indice o invariable et fournit un seul cycle pour les autres indices. Elle change, en effet, \ en g^ g en g^^ g^ en ^', etc. ; d'ailleurs, les entiers 1 , g^ g^, . . . , g'^"^ ne sont autres, dans un certain ordre, que les entiers 1 , 2, . . . , /i — i; la substitution / correspond donc au cycle (i, g^ g^, .. ., g"''^)'i dont le nombre des termes est pair; c'est donc une permutation de seconde espèce, non contenue dans le groupe alternant. Au contraire, t^ y est de nouveau contenu. D'où cette proposition :

V. Le groupe linéaire complet n'est pas dU'iseur du groupe alternant. Le plus grand commun diviseur de ces deux groupes est le groupe semi-métacy clique.

On peut donner aux conditions obtenues pour' les groupes métacycliques différentes formes, qui se déduisent de tout ce qui vient d'être dit.

Le groupe linéaire complet est contenu dans le groupe symétrique, comme diviseur d'indice v=i.2.3.../i — 2. Une fonction y des n variables .r©, ^1, ..., ^w i, appartenant au groupe linéaire complet, qui par suite peut être appelée fonction metacyclique, satisfait donc à une résolvante F(y)=:o de degré v, dont les coefficients sont des fonctions symétriques des variables jt. Si maintenant on remplace ces variables x par les racines d'une équation métacyclique f{x) = o, y devient rationnel.

Supposons réciproquement que la fonction y des n variables x devienne rationnelle, lorsqu'on remplace ces n variables par les racines d'une équation irréductible /(a:) = o, tandis que F'(j^) est différent de zéro; f{x) est alors métacyclique. En effet, le groupe de f{x) = o est certainement un diviseur du groupe linéaire complet, donc linéaire lui-même; comme y*(:c) est irréductible par hypothèse, Téquation f{x) = o est donc métacyclique. Il suffit, d'ailleurs, pour pouvoir résoudre algébriquement 1 équation f{x) = o, que l'équation F(^) = o possède une racine rationnelle qui ne soit pas racine double. Les différentes racines