CHAPITRE XYII. — RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS

de celte équation appartiennent en effet à des groupes conjugués; une racine étant rationnelle, un des groupes conjugués estmélacyclique. Par suite :

VI. Pour qu'on puisse résoudre par radicaux r équation f{x) = o, il faut et il suffit que la résolvante de degré v, F(y) = o, ait une racine rationnelle , la fonction y étant choisie de telle sorte que cette résolvante n'ait pas de racine double.

On obtient une autre forme de la condition de la manière' suivante :

Parmi les permutations d'un groupe linéaire, la permutation identique est la seule qui laisse invariables deux indices quelconques. En effet, si la substitution {z^az-\-b) laisse deux indices invariables, la congruence

az -h b^ z (mod n)

doit admettre deux solutions distinctes, ce qui exige

a =^ i, 6 = 0 (mod n).

Si donc le groupe P de/{x) est linéaire, il se réduit au groupe unité par Tadjonction de deux racines; donc toutes les racines peuvent .s'exprimer rationnellement en fonction de deux quelconques d'entre elles; d'où ce théorème :

VII. Lorsqu'une équation irréductible de degré premier est métacy clique, ses racines sont des fonctions rationnelles de deux quelconques d'entre elles,

La réciproque de ce théorème est vraie; on la démontre de la manière suivante.

Supposons qu'une équation irréductible, de degré premiers, soit telle que ses racines soient des fonctions rationnelles de deux quelconques d'en'tre elles. Soit, par exemple, x^= i(^o> ^i) une de ses racines; on pourra appliquer à cette relation toutes les permutations du groupe P; si une de ces permutations ne change pas Xq et x,, elle laisse invariables toutes les racines x^] c'est donc la permutation identique. Donc :

Le groupe P ne contient, outre la permutation identique, aucune autre permutation, laissant invariables deux indices.

7l8 LIVRE 111. — LES GRANDEURS ALGÉBRIQUES.

Supposons qu'une des permutations T:=cCij ... du groupe P se compose de plusieurs cycles c, C|, . . .; supposons c de degré A, C| de degré supérieur à A. La permutation it*= c*. . . laisse invariables les indices de c; ce n'est pas la permutation identique, puisque c^ ne laisse pas tous les indices invariables. Cette circonstance ne peut pas se présenter quand h est plus grand que i. DonCy ou bien iz laisse un indice invariable, ou bien il se compose de cycles de même degré. Comme n est un nombre premier, j: n'est donc autre chose qu'un cycle à n termes.

Par suite, le groupe P ne contient, outre la permutation identique, que des permutations cycliques de degré n, que nous désignerons par Y, et des permutations x qui laissent un indice invariable, et ne peuvent être composées que de cycles du même degré.

Désignons par Xq toutes les permutations x qui laissent invariable l'indice o; de même par X|, .. ., x„^^ celles de ces permutations qui ne changent pas les indices 1,2, ...,n — i.Le groupe P étant iransilif, il y a autant de permutations Xq que de permutalions X| , X2 , Soit en effet 7: une permutation qui change o en i ;

toute permutation Tc~*Xo 7: est une permutation X| , et inversement toute permutation uxiit"* est une permutation x©; de même pour les autres indices. Soient donc [jl le nombre des Xo, v celui des y, m le degré de P; en tenant compte de la permutation identique, il vient

Les permutations Xq et la permutation identique forment un groupe Q du degré [a-H-i; c'est un diviseur de P, l'ensemble de toutes les permutations de P, qui ne changent pas l'indice zéro. Si donc Tti, 7:2, ..., TZn-i sont des permutations de P qui transforment o en I, 2, . . ., /i — i, l'ensemble de toutes les permutations de P qui transforment o en i, etc., sera Qtîi. De là une décomposition de P en parties associées

P = Q-^Q7rj-|-...-|Q7r„,;

on en conclut

(12) /n = n(ix-hi)y

et par suite, d'après (i i) et (12 ),