CHAPITRE XVII. — RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS

P contient donc n — i permutations cycliques de degré n, et pas davantage^ elles forment avec le groupe unité un groupe cyclique

puisque P renferme avec y toutes les puissances de y.

Y étant une permutation cyclique de degré n^ toute permutation u~* Y^Tî est aussi cyclique; elle est donc contenue dans C, si ir appartient à P. Le groupe C est donc un diviseur normal de P; donc (théor. II) le groupe P est linéaire. Donc :

VIII. Une équation irréductible, de degré premier, dont toutes les racines sont des fonctions rationnelles de deux quelconques d^ entre elles, est métacyclique.

Nous tirerons de ces théorèmes, une conséquence remarquable ; c'est une propriété des équations métacycliques, lorsque le domaine de rationalité est réel; elle a été signalée d'abord par M. Kronecker (*).

Lorsqu'une équation métacyclique admet deux racines réelles, il en est de même de toutes ses racines (théor. VII); mais, quand cette équation est de degré impair, elle admet nécessairement une racine réelle. Donc :

IX. Une équation métacyclique irréductible, de degré premier impair, à coefficients réels, a donc une seule racine réelle, ou toutes ses racines réelles.

Lorsque toutes les racines sont réelles, le discriminant, égal au produit des carrés des différences des racines, est nécessairement positif.

Si une seule racine est réelle, les facteurs complexes {xk — XkY du discriminant sont conjugués deux à deux et leur produit est positif. Si Xh et Xk sont imaginaires conjugués, leur différence ^h — ock est purement imaginaire, son carré est négatif; le discriminant contient donc autant de facteurs négatifs qu'il y a de couples de racines imaginaires conjuguées. Le signe de ce discri-

minant est donc celui de ( — i) * . Par suite :