CHAPITRE XVII. — RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS
L'ensemble de ces couples ne change donc pas à la suite des substitutions s et t^, c'est-à-dire sous l'influence du groupe semimétacyclique ; une fonction symétrique des couples correspondants est semi-mélacyclique. La substitution t produit les échanges suivants :
elle change donc les cinq couples de la première ligne en cinq autres couples distincts des précédents ; comme on ne peut former que di)L couples avec cinq objets, les lignes (3) contiennent tous ces couples.
Les fonctions métacycliques peuvent se former de bien des manières différentes. La plus simple de ces fonctions est
(4) U = XqXi-\- XiXf-^ XiXi-h X^X^-^ X^Xq^
que la substitution t transforme en
(5) u' = XoXi-\-XiX^-h x^Xi-h XiXi-h XzXo;
la fonction u' est aussi semi-métacyclique. Soit
(6) f(^x) = x'^ — ax^ -h bx^ -~ ex* -\- dx — e = o, l'équation ayant pour racines Xo^ ^i, ^2? ^S) ^a ; on aura
La fonction
est aussi semi-métacyclique ; mais son carré ^* est métacyclique, et, par conséquent, racine d'une résolvante du sixième degré, déjà trouvée par Lagrange.
Soit y/A le produit des dix différences des racines deux à deux; A est le discriminant de/{x)] la fonction
est métacyclique et racine d'une équation du sixième degré (*). Pour former les fonctions conjuguées de e/, désignons par M le groupe métacyclique, par N le groupe serai-mélacyclique, par A le groupe alternant, et décomposons A en ses parties associées :
(lo) A = N-hN(i,2)(3,4)-*-N^(o, i)-f.N<(o,2)H-N/(o, 3)-i-N/(o, 4).
Ces parties associées sont toutes distinctes.
En effet, si N était identique à N(i, 2) (3, 4), la permutation (i, 2) (3, 4) devrait être contenue dans N et, par suite, la permutation
dans M; ce qui est impossible, puisque M ne renferme aucune permutation laissant deux indices invariables; on montre d'une façon analogue que les autres parties associées sont aussi distinctes. On trouve donc toutes les conjuguées de u dans le groupe A par l'emploi des permutations
ce
qui
donne
Xi -h a?2 373 -H x^ x^ -f- .r^ iTo,
Wj:
=■ XqX^-\- Xi
X^ H- 371X4-4- Xi^X^-\- X^Xq^
= X\Xi-\- Xi X4 -h a?4 0^0 ~*~ ^0 ^3 "+" -P'a ^1 »
W* = X^Xq-^ XQXt,-\- X'^X\ -h XxXi-\- X^Xty aj= X^X^-k- XiX\-\- X^Xi -h XiXo-{- XQX^y «6= Xi^Xf-h ^2^0-^ a^o^l-f- ^1^:3 -h X^X^',
on trouve les quantités correspondantes u\^ . . ., u^ en effectuant sur W| la permutation t et en procédant avec ii\ comme avec M|, ou bien simplement en écrivant la somme des couples qui manquent
( ' ) Jagobi, Observatiunculœ ad theoriam œquationum pertinentes {Journal de C relie t t. 13). — Œuvres de Jacobi, t. III. Caylby, Phil. Trans.f 1861.— Collected Mathematical papers, vol. IV, p. 3o: .
