CHAPITRE XTII. — • RÉSOLUTION ALGÉRRIQUE DBS ÉQUATIONS
dans chaque fonction, ce qui donne la fonction correspondante u \
u\ = X^X^-\- XqXi-\- iCiiPj-h X\X^-\- XfX^y U'2 = ^0^1 -+" XoX^-\- J^irCj-h XfX^-h X^X^f II3 = XqXi -f- XoXf-i- X%Xz-i- XiX^-+- XxX\^ Mji = XQX\-^r XqXi-^ X\Xt-\-- X^X^-\- X^X^j Mj = XoXf-+- XqX^ -h a?i a?î -h T| Xz -+- X^X^y
Mj = â7oâ7) + XqX^ -h a?i 3?j -h a:*! ^y^ -+- x%Xi.
Les six quantités (8)^i, ^2, ^3,^4, ^5,^« sont racines d'une équation du sixième degré, dont les coefficients sont des fonctions
rationnelles de a, 6, c, ^f, e et de y/Â. Toutes ces quantités changeant de signe en même temps que y/^, cette équation aura la forme
les coefficients a étant des fonctions rationnelles des coefficients de /(x). Ce doivent même être des fonctions entières; en eflet,
^2) ^*y ^6; ^i^^i ^3V^} ^sy/Â sont des fonctions entières des quantités x, qu'on peut regarder ici comme des variables indépendantes; les trois dernières doivent donc être divisibles par y/A; par conséquent, tous les coefficients a doivent être des fonctions enlières des variables x. Leurs degrés, par rapport aux x, sont
aj
Uis/I
puisque les quantités y sont du second degré; mais y/Â est du dixième degré en x; donc, il faut que ^1 et as soient nuls, et que a 5 soit un nombre.
Les fonctions a2, a^j a^ sont homogènes par rapport aux variables X] nous attribuons aux coefficients a, 6, c, <i, e les poids 1, 2, 3, 4) ^; les coefficients ^2, a.i, ac sont des fonctions isobariques de ces quantités avec les poids 4? 8, 12 (§ 53).
On peut calculer effectivement les coefficients ci^-^a^^a-^^o^ d'après les règles du calcul des fonctions symétriques 5 c'est ce que Cayley a fait, mais le calcul et les formules sont très compliqués.
Nous nous borneron s à former la résolvante dans ce cas parti-
7^4 LIYRR III. — LBS GRANDEURS ALGÉBRIQUES.
culier. La valeur trouvée pour a^ estnalurellemeat valable pour le cas général.
Supposons que l'équation du cinquième degré soit de la forme de Bring-Jerrard ( * )
(i3) x^ -\- oix -h ^ = o.
Les coefficients a2,a^^ a^ sont des fonctions rationnelles et entières de a et de p. Parmi les coefficients de Téquation générale (6), d est du poids 4^ ^ du poids 5; il en résulte que le coefficient e ne peut figurer dans aa, et ne peut figurer dans «4 et Oq que multiplié par un des coefficients a, 6, C5 si donc a, 6, c sont nuls. e disparaîtra de ces expressions. Dans le cas de Téquation (i3\ les coefficients a^, ^4, ae seront donc indépendants de ^.
En désignant par m, m,, ma, m^ des entiers, on trouve
(14) aj=/nia, a4=m2a*, ae=/7isa', «5= m.
Les entiers m, /Wi, /?i2, f^h se déterminent à l'aide d'une hypothèse particulière. Supposons ^ = o; il vient
(i5) a:o = o, Xi = ^—ol, ^2= «V— «» ar,^ — /— a, jr4 = — iV — ^c-
D'où
v/Â = (iPo— a:'i)'(a?o— ^iX-To— ^3)(^o— J'O
= 16 1 /— a* = — 1 6 /a» ; <lonc
A = iSùoLK
Comme 6 est nul, on trouve, d'après (7) et (8),j' = 2ii; les équations (i i) et (i5) donnent alors comme valeurs de >' :
Pour le cas de ^ = o, on a donc l'identité
I 7« -+- a,7* -h a47« -4- ag — a^y \/ï (»7) j =(7H-2v/i)*(j^*-8^V^-T-2oor)
( = y^ — 20 a^* H- 240 »*J^* -^- 5 1 1 ^â^y H- 3io a^.
(*) RuNGB, Acta mathematica, t. Vil.
